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In questa ipotesi per tanto 1' esponente totale di derivazione dell'unica variabile t di- 
viene uguale ad ^i + ^^-l- . . . -{-n^, ossia ad n, ed il coellicientc del terinine sarà de- 
finito dalia l'orinola 
^ w! 
n, ! nj! . . . w,.! 
Ora questo valore di k è il cocfTiciente che prende il monomio 
\dtJ \dt/ " ' \ d( / 
nello sviluppo della potenza ("^ + i ^ osserverà che , se i fattori del 
• ^ . d<f.\ df"2 .... , „ , • . 
monomio, cioè le potenze -^^rr » , ... si mutino rispettivamente nelle derivate - , 
, . . . , e quindi il monomio così modificato si moltiplichi per tutte le altre m — r 
Clt 2 
funzioni 9^ , , (f^.^^,. . .9„o che non figurano nello stesso monomio, si ottiene appunto 
Tesprcssione (9). Da ciò risulta la proposizione conosciuta che la derivata d'ordine 7i 
del prodotto di m funzioni di una variabile t si può esprimere mediante la forraola sim- 
bolica 
dt" \ dt di "T-""^ dt/ ' 
a patto che, dopo lo sviluppo le potenze ^ ' ^ • • • siano mutate in derivate di or- 
dini rispettivamente uguali a' gradi delle potenze medesime; e di piij che ogni termine 
ia moltiplicato per le altre funzioni 9, che non figurano nel termine medesimo. 
II. — FUNZIONI QUALUNQUE. 
14. Sia k il coefficiente del termine (3) nella ipolesi che le funzioni 9 siano diffe- 
renti; se alcune di queste funzioni divengano uguali^ il coefficiente del termine diverrà 
un multiplo di k. 
Supponiamo che divengano uguali soltanto jj. funzioni, e di più che siano tutte de- 
rivate; il termine, che già si ripete k volte per fatto della partizione letterale, dovrà' 
pure ripetersi tra quelli nascenti dalle disposizioni r ad r delle funzioni 9, che differi- 
scono tra loro solo nell'ordine delle jjl funzioni , e che sono tante quante sono le permu- 
tazioni di fi lettere. Il termine adunque, oltre a ripetersi k volte, si ripeterà ancora fi! 
volte; e quindi, indicando nella ipotesi attuale con K il suo coefficiente, si avrà 
K = ?£ p ! 
Però questa formola è vera, se nel termine non vi sono fattori derivati uguali. Ma 
se un fcittore derivato è ripetuto h volte, vuol dire che nella partizione letterale vi è un 
gruppo di variabili ripetuto altrettante volte; e ciò fa che il termine debba ripetersi h\ 
•volte, come provveniente da hi disposizioni (n." 11). Ora di questa ripetizione si è già 
tenuto conto nel calcolo di k; e quindi, siccome le hi disposizioni sono comprese tra 
