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le 11! permutazioni più sopra considerate, ne segue che nel caso presente il valore di K 
equivale al prodotto di k per ^ ; e si ha perciò 
al 
Se vi sono più categorie di fattori derivati uguali, o, meglio, più fattori derivati 
elevati a potenze, di esponenti h , /), , /j, , , . . , si avrà uniformemente 
» t 
K 
Ammettendo che tra le [ji funzioni eguali ve ne siano non derivate , si osserverà 
che le medesime non possono influire alla ripetizione del termine, perchè non vanno 
permutate; e quindi, ritenute le altre ipotesi, per avere in tal caso il valore di K, biso- 
gna ancora dividere il fattoriale di ix pel fattoriale di v) , e si ha in conseguenza 
A ! ^, ! ! . . . rj ! 
15. A questo punto è evidente che, se vi sono altre categorie di funzioni uguali, 
ciascuna deve analogamente introdurre elementi uniformi nel valore di K. Si può osser- 
vare che nella ipotesi attuale il prodotto di tutte le funzioni è naturalmente un mono- 
mio formato di convenienti potenze delle sole funzioni distinte; ed allora la risoluzione 
completa della quistione si può riassumere come segue : 
Sia li il coefficiente del dato termine; k il coefficiente ^ che 'prenderebbe lo stesso ter- 
mine se le funzioni fossero tutte diswjuali ; e siano inoltre 
]s. , , , ... (jli esponenti delle funzioni; 
h , h, , hj, . . . gli esponetiti de' fattori derivati; 
Ti , , T(_, , . . . gli esponenti delle funzioni non derivate. 
Poste queste indicazioni il valore di R è definito in ogni caso dalla formola 
nella quale basta, com'è naturale, di considerare i soli esponenti maggiori di 1. 
Siccome il coefliciente K costituisce un elemento importantissimo di analisi , ci 
sembra utile di renderne il calcolo indipendente da formole, e concretarlo nella regola 
seguente : 
Per ottenere il coefficiente di un dato termine appartenente allo sviluppo di una de- 
rivata parziale d'ordine superiore del prodotto di funzioni qualunque di più variabili, bi- 
sogna innanzi tutto calcolare il coefficiente, che prenderebbe se tutte le funzioìii fossero di- 
suguali , e che risulta dal prodotto degli esponenti totali di derivazione di tutte le varia- 
bili, diviso pe fattoriali de'loro esponenti parziali. Ottenuto questo speciale coefficiente, si 
moltiplicherà pe fattoriali degli esponenti delle funzioni ripetute , e si dividerà pe' fatto- 
riali degli esponenti de' fattori derivati ripetuti., e di quelli delle funzioni ripetute , non 
derivate. 
finita stampare il di 7 gennaio ISSO 
