saranno elemend del connesso un punto jirbitrario di * con una retta qualunque del 
piano, ed una retta arbitraria di 9 con un punto qualunque del piano. Il connesso si 
dirà allora in involuzione identica. 
Supponiamo ora che tulle le linee 4>„ , 0 pure tutte le linee 9 .^, siano in involu- 
zione sevìplice [formino una serie semplice di 1" grado (un fascio) di linee di '2" ordine, 
o una serie semplice di 1' grado (una schiera) di linee di 2=" classe]; essendo allora 
' 1 o PU'^e (9, , 9„) , due linee di 2" ordine, 0 di 2^ classe, che determinano 
l'involuzione, si dovrà supporre 
*r, = «... *« + ^rs *6 ' o pure = A,, f,, + B,.^ , 
sicché ponendo 
onde 
r equazione del connesso diverrà 
(1) (*?) = *«?.. + **?B = 0. 
Diremo allora che il connesso è in involuzione semplice. 
Ponendo con 
si vedrà che se il punto V appartiene alla linea <1>„^ dell'involuzione (*^ , , la linea 
corrispondente di 2'' classe nel connesso (<1>9) sarà la linea 9^b dell'involuzione (9^ , 9„), 
e viceversa se la retta i' appartiene alla linea 9^,, dell'involuzione (9^ , 9^) , la linea cor- 
rispondente di 2" ordine nel connesso (4>9) sarà la linea <I>„,^ dell'involuzione (4>^^ , 4> J ; 
diremo <J\,^ e 9^,, linee corrispondenti (l'una di 2" ordine, l'altra di 2* classe) del con- 
nesso; esse sono in dipendenza proiettiva nelle serie (*^ , <!>;,) , (9^ , , ed in questa 
dipendenza a 4>„ corrisponde 9,, , ed a corrisponde 9^ . Adunque in un connesso di 
^' ordine e di 2" classe (4>9) in involuzione semplice^ le linee di 2^ classe 9 corrispondenti 
ai diversi punti \ del piano hanno tutte quattro tangenti comuni, e le linee di 2" ordine * 
corrispondenti alle diverse rette v del piano hanno tutte quattro punti comuni ; per tutt' i 
punti V appartenenti ad una delle 4> si ha una stessa linea corrispondente 9 , e viceversa 
per tutte le rette v appartenenti ad una delle 9 si ha una stessa linea corrispondente 4»; 
queste linee corrispondenti * e 9 sono ( nelle serie cui appartengono ) in dipendenza pro- 
iettiva. 
Per ciascuno dei quattro punti V comuni alle <^ , 0 per ciascuna delle quattro 
rette v comuni alle 9, la linea corrispondente 9 o <I> è indeterminata. 
Essendo 
♦ = (U, -\- TJ,v, -f U3r3)' = (Ut-)' = 0 , e f = (u.Y, -f u,Y, + u,Y,y = (uYf ^ 0 , 
