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le equazioni, in notazione ombrale, di una linea di 2' ordine *!> e di una linea di 2' 
classe 9, è nolo che se a 4) può appartenere una terna di punti \ coniu.;^ala a 9 (e (piindi 
infinite terne analoghe), o ciò che vale lo stesso so a 9 può appartenere una terna di 
rette v coniugata a <J> (e quindi inUnile terne analoghe) si annullerà l'invariante espresso 
sin)bolicamente da (y}^u^'\~{]ji^-{-\]^uJ^=([}uf, o sia si avrà tra i coctlìcienti eflet- 
livi IJ,; ed u,j di * e 9 la relazione U,, u,j =:0; si dice allora che le linee * e 9 sonc» 
aniìoììiche fra loro. Ciò posto consideriamo nell'involuzione delle e nell' involuzione 
delle 9, I ispettivamente una linea ed una linea 9v'b" che siano armoniche fra loro; 
si avrà la condizione 
1^2 («A,, + i'B,,) (A'-«,, + B"ò,j) ^ 0 , 
0 sia 
(2) n\:'{kaf + fl'B"(AÒ)- + UM\Yiaf -f UK{]ibf -^^ 0 , 
sicché ad ogni linea di 2" ordine noli' involuzione delle «I> corrisponde una linea di 
2"^ classe nell'involuzione delle 9 che le è armonica, e viceversa; queste linee armoni- 
che corrispondenti ^/j. e 9v'b" sono (nelle involuzioni cui appartengono) nella dipen- 
denza proiettiva espressa dall'equazione (2). 
Siano nel connesso ('I'9) e 9^'^' le linee che corrispondono rispettivamente 
alle linee 9,"b'- e <I>„'^' ; essendo A'a -\-h'b' = 0 , ed A."a" b" = 0 , potrà supporsi 
a=zh\ 6'— — A', ft"=B", b"=: — A", con ciò l'equazione (2) prenderà una delle forme 
seguenti : 
da{k.h)- — b'ò"{Bay- = dU'{kay — Ua^Qbf , 
(3) 
MK'iaBf — B'B"(iA)2 = B'A'(aA)^ — A B' (iB)- . 
Queste equazioni dimostrano che sono in dipendenza proiettiva nella involuzione 
delle «t> le e * , e nella involuzione delle 9 le 9vb' e 9^6" : se in queste dipendenze 
proiettive le e <I>„"^" coincidono con la stessa <I>^^ , e quindi le 4>vb' e <I>v'3' coincidono 
con la stessa 9^9 ? le equazioni (3) daranno le condizioni 
Ci" (Ai)- — (B^)- = ab [{kaf — {Mf ] , 
(4) 
A- («B)- — B- {bkf — AB [(rtA)-— (iB)- ] ; 
1 valori di rt : 6 e di A : B ricavati da queste equazioni determineranno evidentemente 
due coppie di linee corrispondenti <I>^^^ e 9,,b nel connesso {^^) che saranno armoniche 
fra loro. Adunque nel connesso di 2° ordine e di T classe (<J>9) in involuzione semplice vi 
sono due coppie freali, coincidenti, 0 immaginarie) di linee corrispondenti <l> e 9 clic sono 
armoniche fra loro. 
Le linee <t>^.^- , 9v k' sono linee corrispondenti nel connesso di 2" ordine e di 2* clas- 
se, in involuzione seiuplice, rappresentato dall'equazione 
(<^) * ,?A iW - y« {Bay- + (A^)^ - {kby = 0 , 
