- 7 — 
2* ordine che nell'involuzione delle * si riducono a coppie di rette, e 9v',i>", , ?a>"i , 9*"3»"3 
le linee di 2^ classe che noli' involuzione delle 9 si riducono a coppie di punti ; essendo 
9a',b', , 9\'.^r.'2 , 9a'.,..'3 , o 4><,",v', , *'<"./'".^ , , le linee di 2'' classe, o di 2" ordino, 
che ad esse corrispondono rispettivamente nel connesso (<l>9) , saranno A', : ì\\ , A'^: li', , 
A'3 : B'3 , o rt", : b'\ , : b'\ , a".^ : b'\ , le tre radici A' : li' , o a" : b", della prima , o 
della seconda , delle equazioni 
<?,v A'^ (Bb)* — 3 A'«li (Ab)^ + 3 A'H '^ (Ba)^ — B'^ (Aa)^ 0 , 
(2) 
A„..,.. = {òBy — 3a ' b" (aBY + 3aò"^ {bAf — b"' {akf - 0 . 
Adunque ìiel connesso (<&9) 2" ordine e di 2^ classe, in involuzione semplice , i 
punti V, per i quali la linea corrispondente di classe 9 si riduce ad una coppia dì 
punti, costituiscono una linea di 6" ordine (la locale singolare del connesso) decomponibile 
in tre linee di 2" ordine (*a'',b", , *-^"2''"2) ^a'si/'s) appartenenti all'involuzione delle 
e tulle quelle coppie di punti coincidono con le tre coppie di punti (9v",b", , ff-K'^n"^ , 9a-'.,b"j) 
che appartengono all' involuzione delle 9; analogamente le rette v, per le quali la linea 
corrispondente di %" ordine <I> si riduce ad una coppia di rette , costituiscono una linea di 
6" classe (l'inviluppo singolare del connesso) decomponibile in tre linee di 2" classe (9^',!', , 
9\'2b'2 , 9a'3b',,) appartenenti all'involuzione delle 9 , e tutte quelle coppie di rette coincidono 
con le tre coppie di rette (^a'jb'j , *a'.^b'., , ^a'jV^) che appartengono alV involuzione 
delle 
Se la coppia di equazioni Aa';y = 0, A„"b"~0, ammette una radice comune a:b, 
anche la coppia di equazioni 5^-8' = 0, 5A"h" = 0, ammetterà una radice comune A:B, 
legata con la prima dalla relazione Aa-j- B6 = 0; allora le linee ^„,, e 94^ , determi- 
nate rispettivamente, nell'involuzione delle <I> e nell'involuzione delle 9, da quelle ra- 
dici comuni a:b , ed A:B , saranno ad un tempo linee singolari, e linee corrispondenti 
del connesso (<I>9); la coppia di linee corrispondenti , 9^3) del connesso, presenterà 
quindi la doppia singolarità di avere ridotta <!>„/, ad una coppia di rette, e 9^^ ad una 
coppia di punii: analogamente se quelle coppie di equazioni hanno una seconda, o an- 
che la terza, radice comune; in quest'ultimo caso i coefficienti dell'equazione del 
connesso (4»9) dovranno soddisfare alle condizioni 
(Aa)'- _ _ (Ba)- _ (Ab)^ __ _ (Bb)« 
(/B)2 ~ (rtB)- ~ {bkf ~~ " i^Y ' 
Indichiamo con W uno qualunque dei quattro punti comuni a tutte le linee di 
2° ordine <I> , e con v la tangente di una delle * in quel punto; con w una qualunque 
delle quattro tangenti comuni a tutte le linee di 2^ classe 9, e con V il punto di con- 
tatto di una delle 9 [quella che nel connesso (<I>9) corrisponde a (<!>)] con quella tangente: 
siano {v\ , v\_ , v\) e (V", , V", , V'^) le posizioni di v e di V allorché <^ e 9 sono le 
linee singolari <I>' e 9" del connesso (4>9); (v'\ , v'\ , i^''^) e (V, , V'^ , V'3) le posizioni 
di r e di V allorché 4> e 9 sono le linee 4>" e 9' che nel connesso (<I>9) corrispondono ri- 
spettivamente alle linee 9" e <!>'. Il gruppo di rette {v , r>\ , v',^ , v\ , v'\ , v".^ , v"^) sarà prò- 
