Or il est clalr quo F' contient f. Dono li' <, w'; on aura par suite 
Ln' = n — ko> = kh> kìù! 
d'oìi L~^kl'^ AX, ce qui démontre le théorème. 
§ 2. 
7. Soient G un groupc d'ordre fini, contenu dans le groupe linéaire à n variables; 
F un faisceau contenu dans G , et dont les substitutions ramenées à la forme canonique 
soient par exemplc de la forme suivante : 
I a; , y, s , M . ax , ciì/ , , du , ev , . . . | . 
On pourra dire que le faisceau F est compiei ou non, suivant qu'il contiendra ou non 
toutes celles des substitutions de G qui sont de la forme ci-dessus. 
Le faisceau F étant supposé coniplet , prenons celles de ses substitutions où les 
coelBcients a,c,(Z,e,... satisfont à certaines relations d'égalité telles que celles-ci: 
a=c , d=e. Ces substitutions auront pour forme générale 
I X , y , z , u , l'I , . . . ax , ay , az , du , dv , . . , | 
et formeront un faisceau complet contenu dans F. 
En faisant varier le nombre et la nature des égalités imposées aux coefficients, on 
obtiendra une sèrie de faisceaux complets, tous contenus dans F. Réciproquement il est 
clair que tout faisceau complet contenu dans F s'obtiendra par ce procédé. 
Nous n'aurons d'ailleurs à nous occuper dans ce qui suit que des faisceaux com- 
plets contenus dans G. Nous pourrons donc supprimer l'épithète de complets, et leur 
donner simplement le noni de faisceaux. 
8. Ces définitions posées, nous allons établir le théorème suivant: 
Théorème. — On peut déterminer un faisceau F contenu dans G et deux entiers li- 
mités X„ et pi„, jouissant des propriétés suivantes: 
f F est permutable aux substitutions de G. 
2° Il est irréductible par rapport à . 
3° Tout faisceau contenu dans G et irréductible par rapport à est contenu dans F. 
4° L'ordre de G 7ie surpasse pas fA„co,u> désignant l'ordre de F. 
Nous dirons que le faisceau F est le tioyau du groupe G. 
Le théorème ci-dessus est évident si n = l, auquel cas on aura X,=iX|=:l , F=G. 
Nous établirons qu'il est vrai pour une valeur quelconque de n, s'il est vrai pour 
les valeurs moindres. 
9. On doit distinguer deux cas dans cette démonstration , suivant que G est 
décomposable au non. 
