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étant aii plus égal à ix „ fois l'ordre de F"; celai de FI" au plus égal à v. .. fois l'ordre de 
F", etc. , il est clair que l'ordre lì de G' sera au plus égal à Oix,- [a^- ... 0 désignant 
l'ordre de I. 
13. Soit enfili X,, le plus grand des entiers n , X . , X , . . On pourra déterminer 
par la méthode du N° 5, un faisceau F contenu dans 1, irréduclible par rapport à X„, et 
doni l'ordre w sera lié à celui de I par la relation 
De celle relation, joinle aux précédentes 
n = Ali' ^ 1 . 2 . . «' . 1 . 2 . . c. " . . . il' 
on déduira 
ku ,u / co a w , 
<^ '*r 'rt' in" n i n * 
fin désignant le produit 
1.2..a'....vu^,^...V'-^ 
14. Le faisceau F et les entiers X^ , satisferont à l'énoncé du théorème. 
En effet, les substitulions de G étant évidemnient permutables à G', le seront au 
faisceau F, qui se déduit de G' par un procède exempt d'ambiguité. C'est la première 
condition. 
D'ailleurs F est irréduclible par rapport à X^ , et l'ordre de G ne surpasse pas fi^^to. 
Il reste dono seuleraent à prouver que tout faisceau L contenu dans G sera rédu- 
ctible par rapport à X„ s'il n'est pas contenu dans F. 
Nous élablirons successivement que L est réductible: 1" S'il n'est pas conlenu dans 
G'; 2° S'il est contenu dans G' sans l'élre dans I; 3° S'il est contenu dans I sans Tètre 
dans F. 
15. lo Supposons d'abord que L ne soit pas contenu dans G'. Ses substitulions 
déplacent les systèmes. Admellons pour fixer les idées qu'elles permutent enlre eux 
d'une manière transitive les i premiers systèmes a?', ?/',...; a?",?/", x\ij\ .. . 
sans les permuter avec les systèmes suivants cc'*^ Chaque substilulion S du 
faisceau L sera le produit de deux autres , doni l'une S, remplacera les variables 
X , y\ ; x\ y\ . . . par des fonctions linéaires de ces mémes variables, tandis 
que l'autre S^ sera opérée sur les variables restantes £c'*S 
Les substilulion S, , considerées isolément , forment un faisceau Lj ; les substitu- 
tions Sj formeront un faisceau L^; et il est clair que si l'un de ces faisceaux est rédu- 
ctible, L le sera. 
Nous allons monlre que L^ est réductible. 
16. Soit A le faisceau formé par celles des substitulions de L, qui ne déplacent 
pas les I systèmes x\ y x\ y\ ... ; prenant pour variables indépendantes, 
