à la place des variables de chacun de ces syslèmes, des fonctions linéaires convenable- 
nient choisies de ces iiiènies variables, on poiirra ramener simultanément à la forme 
canonique loutes Ics subslilulions de A. 
Cette opération cfTecluée, soit pour fixer les idées 
X , y , ~ . . . ax ,ay' ,cz' , . . . 
x" , y" , z" . . . ax" , ay" , cz" , . . . 
x\y\z\. . . ax' , ny' ,cz\. . . 
la forme générale des substilutions de A. Les substitutions de L, , étant échangeables 
à celles-là, devront remplacer les variables x\ y' ; x" , y"; . . . ; x\y* que chaque sub- 
stitutions de A multiplie par un méme facteur a par une fonction jouissant de cette mè- 
me propriété, c'est à dire par une fonction linéaire de ces mémes variables. De méme 
pour les variables s' , s" ; etc. Bone cbaque substitution Sj de L, est le produit 
de deux autres Sj, , S,, effectuées respectivement sur les variables co, y' ; . . x\ ?/ et 
sur les autres variables. 
Soit L,, le faisceau formé par les substitutions partielles S,, . S'il est réductible, 
Lj le sera évidemment. Nous allons prouver que L,^ est réductible. 
17. Les substitutions de Lj remplagant les variables de chacun des systèmes 
a?', ìj ,z ^ ; x\ y\ z\ . . . par des fonctions linéaires des variables d'un méme 
système el permutant transitivement ces i systèmes, les substilutions partielles Sj^ rem- 
placeront les variables de chacun des systèmes x\ y' ; . . . ; x\ y^ par des fonctions li- 
néaires des variables d'un méme système, et permuteront transitivement ces systèmes. 
L'ordre de Li, sera donc égal à /w^, étant l'ordre du groupe A, formé par celles de 
ses substitutions qui ne déplacent pas le système x , y'. 
Or les substitutions de A^ ne déplacent aucun système. Soient en elTet S l'une d'el- 
les; x% y' un système quelconque. Ln contiendra une substitution T qui fait succèder 
ce système à x\ y. Les substitutions du faisceau L,j étant échangeables entre elles, la 
substitution T~'ST, laquelle ne déplace pas le système ce'', y^, se confondra avec S. 
Donc S ne déplacera aucun système. 
Le groupe A^ sera donc exclusivemcnt forme par les substitutions partielles 
x , y' ax , ay 
x^ , t/' ax' , ay'' 
correspondantes aux diverses substitutions de A. On voit que ces substitutions multi- 
plient par un méme facteur a toutes les variables y' ; . . . ; x\ y\ et plus générale- 
ment tonte fonction linéaire de ces variables. 
18. Cela posé, changcons de variables, de manière à ramener simultanément à 
