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22. 3!^'"" cas. — Groupes indccomposables. — Soit G un seniblable groupe. Nous 
donnerons le nom de suhslitutions singulicres à celles de ses substitutions qui multi- 
pliont loutes les variables par un uièine facteur. Leur ensemble constituera un faisceau 
* (contenant au moins une subslitulion, la subslitution unite). Nous l'appellerons fai- 
sceau singulier et nous désignerons son ordre par 9. 
Ce faisceau * est irréductible par définition par rapport à un nombre quelconque, 
et notamnient par rapport à X , X désignant un nombre au moins égal au plus grand des 
nombres , X^ , . . . , X„_i qui satisfont à l'énoncé du théorème du 8 pour les grou- 
pes à 1 , 2 , . . . , n — l variables. 
23. 11 peut se taire que G contienne outre le faisceau singulier <l>, d'autres faisce- 
aux irréductibles par rapport à X. Nous les nommerons faisceaux ordinaires. Chacun 
d'eux contiendra évidemment le faisceau singulier. Quelques uns d'entre eux pourront 
d'ailleurs étre contenus les uns dans les autres. 
24. Lkmme I . — Les faisceaux ordinaires qui contiennent un faisceau ordinaire don- 
ile f soni lous contenus dans un seul d'entre eux F. 
En elTet, soit pour fixer les idées 
\ X , y , z ,u ,v , . . . ax , ay , cz , cu , ev , . . . \ 
le forme canonique des substitutions de et soit f un faisceau ordinaire qui contienne 
f. Les substitutions de f élant échangeables à celles de f, seront de la forme 
\x,y,z,u,v,... ax -jr , cc'x -\- ^'y , -/z Su , '/z à'u , , . . . \ . 
Dono f sera contenu dans le groupe I formé par celles des substitutions de G qui sont 
de cette forme. Mais tout faisceau contenu dans I est réductible par rapport à X s'il 
n'est pas contenu dans le faisceau F qui forme le noyau de I (N" 19 et 20). 
25. Il résulte de cette proposition qu'en appelant faisceaux généraux les faisceaux 
ordinaires irréductibles par rapport à X qui ne sont contenus dans aucun autre, cbaque 
faisceau ordinaire f sera contenu dans un seul faisceau général F. On pourra donc ré- 
partir ces faisceaux en autant de classes qu'il y a de faisceaux généraux. 
26. Lemmi: II. — A chaque substitution non singulière du groupe G on peut faire cor- 
respondrc un faisceau irréductible par rapport à X et parfaitement déterminé. 
Soit pour fixer les idées 
S = I X ,y ,z ,u ,v , . . . ax , ay , cz , cu , ev , . . . | 
la forme canonique de celle substitution. Les substitutions échangeables à S seront de 
la forme 
I x,y ,z,u,v,. . . ax ^y , r^'x 'fi'y , -/z -\- Su , -/z -\- 'Tu , iv , . . . \ 
