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Soil I le gi'onpc f'ornié par celles des siibslilulions de G qui soni de celle forme. 
Les laisccaux irréducliblos par rapporl à X doni Ics subslilulions soni échani;eal)Ies à S 
et qui soni conlenus dans (1 le seronl dans I. Ils seront donc conlenus dans un seni 
d'autre eux qui sera le noyau de I. 
Nous dirons (jue S est afferente au faisceau f (kMjuel pourra, suivanl les circon- 
stances, étre ordinaire ou singulier). On peul d'aillcurs dclinir f le faisceau le plus (jé- 
néral panni ceux qui sont irréduclibles et doni Ics substitulions sont échamjeables à S. 
27. Réciproquenienl, soil f un faisceau ordinaire; les subslilulions qui lui sont af- 
férenlcs pourront élre délerminées par la doublé condition: 1° D'èlrc échangeables à 
celles de /", et par suite permulablcs au faisceau gónéral F qui contieni /'(car ce fai- 
sceau F se déduil de f sans ambiguilé); 2" De n'élre échangeables à celles d'aucun au- 
tre faisceau conlcnant f. 
28. Il est niainlenanl aisé d'énumérer les subslilulions de G : 
r Nous aurons d'abord les subslilulions singulières, en nonibre 9. 
29. 2*^ En second lieu viendronl les subslilulions aft'érenles aux. faisceaux gé- 
néraux. 
Soient F un de ces faisceaux, et 
I X ,y ^ z ,u , . . . acc , atj , cz , cu , . . . | 
la forme canonique de ses subslilulions. Celles des subslilulions de G qui leur soni 
échangeables seronl de la forme 
I X ,7j ,z ,U , . . . ax-\-'^y ^axAr^y , 1- -\- , y'xr -f ^'w , , . . | 
et formeront un groupe H, conlenanl évidemment <I>. Son ordre sera donc 2^9 ,p élant 
un entier. Il conliendra donc {j) — 1)9 subslilulions non singulières, loules afférenles 
à F, puisque F n'est contenu dans aucun faisceau irréduclible plus général. 
D'autre part, soit I le groupe formé par celles des subslilulions de G qui sont per- 
mutables à F; ellcs devront remplacer chacun des syslèmes de variables x ; z ^u; . . . 
que chaque subslilution de F mulliplie par un méme facleur par des fonctions jouis- 
sant des mémes propriélés, c'esl à dire par des fonctions linéaires des variables d'un 
méme système. I sera donc un groupe décomposable, d'ordre /^pcp, k élant l' ordre du 
groupe formé par les déplacemenls que ses subslilulions foni éprouvcr aux syslèmes et 
2>9 l'ordre du groupe H formé par celles des substitulions de I qui ne déplacent pas les 
syslèmes. D'ailleurs le nombre total des syslèmes ne peut surpasser le nombre n des 
variables; donc A- est un diviseur de 1 .2 . . .n. 
On pourra méme obtenir dans certains cas une limite plus précise pour le nom- 
bre A;, en remarquant que les subslilulions de I ne pouvent permuler ensemble que les 
syslèmes qui contiennent le méme nombre de variables. Si donc nous avons a' syslèmes 
de n' variables, a" syslèmes de n" variables, eie, /,: sera un diviseur de 1.2.. «'.1.2.. a"..., 
nombre inférieur à 1 .2. .n sauf dans le cas où tous les syslèmes n'auraient qu'une seule 
variable. 
