Cela posò , transformons le faisceau F par Ics n substitutions de G. Nous oblien- 
drons faisceaux Iranslbrinós; à chacuii d'eux seront afTérentes (p — 1)9 substitu- 
tions, transformées de celles qui sont afTérentes à F. Le nombre total des substitutions 
afTérentes à F et à ses transformés sera donc 
a u — 1 
ì:p'^ kp 
30. S'il existe un autre faisceau général F^ , difìérent de F et de ses transformés, on 
trouvera de méiueque lo nombre total des substitutions afTérentes à F, et à ses transformés 
Continuant ainsi , on aura pour le nombre total des substitutions afTérentes à des 
faisceaux généraux une expression de la forme 
kp 
Olì les quantités p sont des entiers, et les quantités k des diviseurs de 1 .2.. n. 
31. 3° Passons aux substitutions afTérentes à des faisceaux ordinaires non généraux. 
Soient f un de ces faisceaux; s une des substitutions qui lui sont afférentes (s'il 
en existe) ; F le faisceau général qui contient f; 1 , S , S , . . . les /j'f substitutions de G qui 
sont échangeables à celles de F. 
Les pcp substitutions s , sS , sS', . . . seront afTérentes à f. En efTet, /, et en général 
tous les faisceaux qui contiennent /", étant contenus dansF, leurs substitutions sont 
échangeables à S , S , . . . Mais f est de tous ces faisceaux le seul dont les substitutions 
sont échangeables à s. (Si non s ne lui serait par afTérentc). Donc il est le seul dont les 
substitutions soient échangeables à s , sS ^ sS', . . . 
Si en dehors de ces substitutions, il en existe une autre s' afférente à /", on volt de 
méme que les /)? substitutions s', s'S , s'S , . . . le sont. Continuant ainsi, on voit que le 
nombre des substitutions afférentes à f est de la forme rp'f , r étant un entier (lequel 
pourrait étre nul). 
Soit d'autrc part 5 l'ordre du groupe K formé par celles des substitutions de G qui 
sont permutables à f. Les transformés de /"par les substitutions de G seront en nom- 
bre le nombre total des substitutions afTérentes à /"et à ses transformés sera donc 
il 
rp<f-j. 
Mais le faisceau F se déduisant sans ambiguité du faisceau tonte substitution 
permutable à f le sera à F. Donc le groupe K sera contenu dans le groupe I d'ordre 
kp^ formé des substitutions permutables à F; et son ordre ? diviserà kp(f. On aura donc 
/ désignant un entier. 
il l 
rp,- = -ii, 
