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32. Toni laisceau ordinairc non j^énéral aulre quc f ci ses lransform(^s, donnera nn 
résultat analogue. Le nonibie total des subslitutions de G afFórentes à de scnihlables 
l'aisceaux sera dono de la l'orme 
l 
k 
33. 4° Il reste à énuraérer les subslitutions non singulières, mais alTérenles au 
laisceau singulier. Soil S l'une d'elles. Considérons le syslème q formé par les subsli- 
tutions 
a ,b . . . désignant respectivemenl celles des subslitutions du faisceau singulier qui mul- 
tipiienl toutes les variables par a, par eie. Cbacune des subslitutions de a, élanl 
échangeable aux mèmes subslitutions quc S, sera afférenle au méme faisceau 
Soienl c7,(7j , . . . les syslèmes distincls que l'on obtient en Iransformanl a par les 
subslitutions de G. Leur nombre sera , g etani le nombre des subslitutions permu- 
tables à g. D'ailleurs il est clair que deux de ces syslèmes ne peuvent avoir de subsli- 
tutions communes sans se confondre entièrement. Le nombre total des subslitutions 
contenues dans a , u, , . . . sera dono tp . — . 
Reste à évaluer q. 
34. Pour qu'une subslitution soil permutable à a, il faul et il sufBt évidemmenl 
qu'elle Iransforme S en une subslitution de g. Soient r le nombre des subslitutions de <7 
dans lesquelles S peut èlre Iransformée par les subslitutions de G; t le nombre des 
subslitutions de G qui soni échangeables à S; on aura q = rt. 
Mais pour que S puisse étre transformé en aS , il faut que ces subslitutions aienl 
le méme délerminant; d'ailleurs si A est le déterminanl de S, celui de aS sera a" A. II 
faut donc qu'on ail a"=l. Le nombre r des valeurs distinctes qui peuvenl étre assi- 
gnées à a sera donc ^ n. 
Reste à évaluer t. 
35. Supposons S ramenée à sa forme canonique 
\ x ,ì/ ,z ,u . . ax ,ay ,cs ,cu, . . . \ . 
Celles des subslitutions de G qui lui soni échangeables seront de la forme 
\x,y ,z,u,... 7.X -\- <ìy ,<^x A;- Sy 'ìu z -\- Su , . . . \ 
et formeront un groupe décomposable , dont les subslitutions ne permulent pas les 
syslèmes a? , y ; z , m; . . . , et qui aura pour noyau <I> (S élant supposée alférenle à ce 
