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Cu A punì. II. 
Groupes à quatre variables. 
§ 1. 
44. Proposons-nous d'appli(iuer les principes généraux qui viennent d'ètrc expo- 
sés à la détermination des groupes à quatre variables. 
La première (lucstion à résoudre sera de délerminer avec précision la valeur du 
nombre pour les groupes où le nombrc n des variables est <i. 
Pour les groupes à une variable, on a évidcmment == 1. 
45. Pour les groupes décomposables à deux variables, on aura X^ 2. Kn ofFel 
pour les groupes décomposables à n variables, on a vu {X 13) qu'on peul prendre pour 
X,, le plus grand des nombres n , X^ , . . . , X^ , . 
46. Quant aux groupes indécomposables à 2 variables, M. Klein a monlré qu'ils se 
ramènent à trois types (lype tétraédrique, octaédrique et icosaédrique) ayant respecti- 
vemenl pour ordre 129, 24?, 6O9 et ayant pour isomorphes *) les groupes formés par 
les déplacements qui superposent à lui-méme le tétraèdre, l'octaèdre cu l'icosaèdre 
régulier. La correspondance a lieu de telle sorte qu'aux o substitutions singulières du 
groupe donne G correspond dans son isomorphe g la substitution 1. 
Soient F un faisceau ordinaire quelconque contenu dans G; /"le groupe des substi- 
tutions correspondantes dans g; w l'ordre de f; celui de F sera wcp. D'ailleurs les substi-' 
tutions de F étant échangeables entro elles, celles de /"le seront. Mais on voit iinmé- 
diatement que dans le groupe g des déplacements qui superposent à lui-méme un po- 
lyèdre régulier il n'y a d'autres déplacements échangeables entre eux que ceux qui ré- 
sultent de la répétition d'une méme rotation, dont l'ordre est 5. On aura donc w ^ 5. 
Cela posé, soit 
\ X ,7/ ax ,òì/ \ 
la forme générale des substitutions de F ; l'ordre de F sera évidemment égal à Xcp , X 
étant le nombre des valeurs distinctes du rapport ^ . On aura donc 
If = o)'f , d"où / =z d) 5 . 
Si donc on pose X, = 5 , F sera certainement réductible par rapport à X^ . 
47. Passons aux groupes à trois variables. 
Pour les groupes décomposables , on pourra prendre pour X^ le plus grand des 
nombres 7i , X^ , X^ . lei n = 3,Xji=:l , x.^^ 5. On pourra donc prendre X^ = 5. ,;, 
■) Un groupe g est dit isomorphe à un groupe 0 si a chaque suhslitution de G correspond une substitution de g, de telle 
sorte qu'au produit de deux substitutions corresponde le produit de leurs correspondantes. 
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