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48. Quant ;ni\ groupes indécomposables, M. Jordan en signale quatre types dans 
son Mémoire. 
Le premier (lype de l'icosaèdre régulier) a pour ordre 6O9. Il a poiir isomorphe 
le groupe 7 des déplacements qui superposent à lui-mème l'icosaèdre. ()n voit cornine 
au 4() qu'on pourra poser \ = 5. 
49. Le second lype (typc hessien) a pour ordre 24.9cp. Un groupe G apparlenanl 
à ce lype contieni le groupe 11 d'ordre 27 derive des subslitutions 
A-=\x,ij ,z x,Oy ,rj':\ 
B~ \ x,ìj ,z y,z,x |. 
Les subslitutions de G sont permutables à H. L'une quclconque d'entre elles S 
Iransforme A et B en A' et e"" A"^ B*, les entiers a , p , y , 5 satisfaisant à la relation 
«5 — Py= 1 niod 3. Un peut lui faire correspondre une subslitution s de la forme 
I a? + ;3fl,v?+^c 1 mod. 3. (7) 
L'ensemble des subslitutions correspondantes à celles de G forme un groupe g d'ordre 
2i, isomor[)lie à G, et contenant toutes celles des subslitutions de la forme (7) doni 
le déterminant est congru à 1 mod. 3. A la subslitution unité, du groupe </ , correspon- 
dent dans G ies 9? subslitutions de la forme ?/iA'' B', où m désignc l'une queiconque 
des subslitutions du fuisceau singulier 4> , et p , 9 des entiers égaux à 0 , 1 ou2 (mod. 3). 
Enfm, les subslitutions A et B sont échangeables à 0 , et salisfont à la relation 
AB = 6BA . 
50. Ces prélirainaires étant admis, nous allons démontrer que tout faisceau ordi- 
naire F contenu dans G est réductible par rapport à 4. 
Supposons d'abord que F contienne une subslitution de la forme mA''B'' 011 p et q 
ne soienl pas nuls à la fois. On sail (jue G contieni une subslitulion linéaire T qui trans- 
forme A en A^'B''. Le faisceau F', transformé de F par T~\ contiendra la subslitution 
m\. D'ailleurs deux faisceaux transformés l'un de l'autre, ayant méme forme canoni- 
que, sont en méme temps réductibles ou irréductibles. Il sulFira donc de montrer que 
F' est réductible. 
51. Or F' contieni wA; il contieni d'ailleurs la subslitution singulière m; donc il 
contieni A. Soil S une autre de ses subslitutions ; elle est échangeable à A. Donc elle 
transformera B cn une subslitution de la forme O'A^B (en verlu de la relation a5 — Py= ^ 
du N» 49). S' transformera donc B en (0' A^)' B — 6^' A'^ B = B. Donc elle sera échan- 
geable à la fois à A et à B. Or les seules subslitutions qui jouissenl de celle propriété 
sont celles de Donc appartieni à ce faisceau. 
