Soit enfin a -f-p'-]-Y"= — On aura 
C = p 
X ax -] - c"i/ -\- b'z 
y <: 'x -\- b 'y -\- az 
z b'x 4" (^y -\- 
a,h\c" étant délerminés par le système des trois équalions 
a + c" = — 1 . 
Le groupe cherché résultera de la combinaison de substitutions de cette torme 
avec les substitutions précédemment trouvées 
B=« \ X ,y , z y ,z ,x 
A — m\x,y,z r r , z'^y , , — mAj . 
60. M. Klein a montré que les substitutions , B, , forment un groupe G, , 
d'ordre 108. On le vcrifierait aisément en montrant qu'on a les relations 
A', = 1 
1 , A,B,=B,A*, 
C\=l , C.B,C, =^B-, , C,APC, = Ai'^C.B^A'^, 
P étant un entier quelconque et |j. , v , des entiers convenablement cboisis pour chaque 
valeur de p. On conclut en efTet de ces relations: 1" que toute substitution dérivée de 
A, , B| , Ci peut ètre mise sous une forme telle que le norabre des facteurs C, qui y 
fìgurent ne surpasse pas l'unité ; 2° que celles où ne figure pas se réduisent à la 
forme B^" A^" (où v varie de 0 à 2 et -r: de 0 à 6) et sont ainsi au nombre de 3.7 ; 
3" que celles qui contiennent un facteur se réduisent à la forme Aji^ B," A,' (où v 
varie de 0 à 2, ja et tt de 0 a 6) et sont au nombre de 7.3.7. On aura dono bien en 
tout 24 . 7 substitutions. 
61. Le groupe G conliendra le groupe G, et résultera de sa combinaison avec les 
substitutions de 
En effet, G contenant des substitutions de cbacune des formes mA, , wB, 
contiendra la substitution 
(nB,)-' (pC,r nB,.pC,=B, 
Il contiendra en outre les transformées de B, par les substitutions dérivées de 
wA, , ^B, ,pCj , cu, ce qui revient au mème,par les substitutions dérivées de A^ , B, , d- 
