Ces transformée?, combinées enire elics, reproduiront loul le groiipe , cai* ce groupe, 
(Mant isomorpho au groiipo f/, qui est simplc, sera lui-méme siinple. 
Dono (1 conlieiit bien 0^ , et resulterà de la combinaison de ses substitutions avec 
les substitutions singulières m,n ,p. 
62. Pour dorè celle discussion, il faut encore s'assurer qu'il n'existe aucun groupe 
linéaire indéconiposable d'ordre lini plus général que le groupe G d'ordre 2i.79 que 
nous venons de déterminer, et dont les substitutions lui soient permutables. 
Soit H un semblable groupe; q .2ì.l(f son ordre (q etani > 1). Ses substitutions 
étant permutables à G, pernuiteront les uns dans les autres les 8 faisceaux d'ordre 7? 
que contieni G, et que les substitutions de G perinutaient déjà transitivement enlre eux. 
Le nombre des substitutions de 11 permutables à Tun F de ces faisceaux sera 
évidemment ~ — g — -z=:1lq(f. 
La considération du faisceau F et des substitutions qui lui sont permutables four- 
p — l 
nira à la somme - un terme dont le dénominateur sera 21^'. 
Or si l'on se reporle au tableau donne par M. Jordan (pages 169 et 170 de son 
mémoire) on voil que les seules solutions où 2 contienne un terme de cettc forme sont 
celles qui portent les N" XX, XXVIII, XLIII, XLIV. 
Les solutions XX et XLIII doivent étre rejetées a priori, car la valeur qu'elles 
donnent pour n n'est pas divisible par 2 4. 79. 
63. Uestent les solutions XXVllI et XLIV qui donnent loutes deux iì=:72 , 79 
d'où q = o. Dans ce cas li contiendrait encore 8 faisceaux d'ordre 79, dérivés, l'un des 
substitutions de la forme wA^ , les autres de leurs transformées. Les déplacements de 
ces 8 faisceaux par les substitutions de H formeraient un groupe h isomorphe à H, et 
contenant dont l'ordre est 24.7. L'ordre de h devant étre divisible par celui de g et 
diviser d'autre pari 72. 7 sera égal a 72. 7 où à 24. 7. 
Or il n'existe aucun groupe de 8 lettres et d'ordre 72. 7. Donc l'ordre de h sera 
seulement 24 . 7. Donc le nombre des substitutions de H permutables aux 8 faisceaux 
72 . 7'j> 
à la fois sera = 39. Ces 89 substitutions formeront évidemment un groupe K 
permutable à toutes les substitutions de H. Soit S une substitution de K qui n'appar- 
lienne pas à <I>. En la combinant avec ^ on obtiendra un faisceau F de substitutions 
échangeables entre elles. L'ordre de ce faisceau sera > 9 et diviserà 89. 11 sera donc 
égal à 89. Donc F se confond avec K. 
Les substitutions de K sont donc toutes échangeables entre elles, et pourront étre 
ramenées simultanément à la forme canonique. Celles de H , etani permutables au fai- 
sceau K, formeront un groupe décomposable ; ce qui contredit l'hypcthèse d'après la- 
quelle li serait indécomposabie. 
Le groupe G de M. Klein est donc le seul qu'il faille ajouter à ceux que M. Jor- 
dan a énumérés. 
64. Il est aisé de voir que pour ce groupe on a J.^ = 7. Pour l'établir, il suffira de 
