66. I.es substitutions de F étanl d'ailleurs rainenées à la forme canoni(iue, réunis- 
sons daiis un nième système celles des variables que toutes ces substitutions niultiplienl 
par un nième faoteur. Supposons (jue noiis ayons ainsi «' systèmes conlenant ri varia- 
bles, a" contenanl n variables etc. On aura 
a' ri -f- a" + = 4 , 
et k sera un diviseur de 1 . 2 . . «" . 1 . 2 . . a". . . (N" 29). 
Celle formule montre que k ne pourra surpasser 2 à moins qu'on n'ait 
«' =r 4 , n' = 1 , «" = , . . = 0 . 
67. Si dono k surpasse 2 , chaque syslème ne pourra contenir qu'une seule varia- 
ble, et Ics substitutions de F auront pour forme générale 
\x,y,z,u ax ,by ,cz ,du \ , (14) 
b c c 
où chacun des rapporta — , — est susceptible de plusieurs valeurs. 
Les substitutions de H, devant étre échangeables à toutes celles de F, seront né- 
cessairement de celle mème forme ; donc H se confondra avec F, et ce dernier faisceau 
aura pour ordre p^. 
Enfin, les substitutions de I, élant permutables à F, appartiendront nécessaire- 
ment à l'une des 24 fornies suivantes : 
1 £C , ?/ , i , Zi ax ,by ,cz ,du \ 
\ X ,y ^ z ,u ay , bx , cz , du \ 
(15) 
\ X ,y , z ,21 ay , bz , ex , du \ 
qui se déduisent de la première en permutant dans son second membro les quatre va- 
riables 0? , 2/ , s , ti. 
Si d'ailleurs I contieni une substilution S apparlenant à l'une de ces forraes, il en 
contiendra évidemmenl jP9, qui s'obtiendront en multipiiant successivement S par les 
p(f substitutions de F. 
Nous allons étudier successivement ce qui a lieu lorsque k est égal à 24, à 12, à 8 
ou à G. 
68. Premier cas: A; = 24. 
I contiendra des substitutions de chacune des 24 formes (15). 
Soit 
\ X , y , z , u ax , by , cz , du \ 
une substitution de F, que nous désignerons pour abréger par S^^,^^. F contiendra les 
24 substitutions S„j,„j , Sj„^,^ , S^^^^ , . . transformées de celle-là par les substitutions de I. 
