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69. ('eia posò, soil F, le faisceau formò par celles des subslilulions de F où a-=b—c. 
Soil p le nombre des valeurs que prend daiis ses subslilulions le rapporl ~ . Ces valeurs 
seront les diverses puissances d'une niénie quantilé 6 , racine primitive de l'équalion 
6'^'=: 1 (N" 3). Fj contiendra donc une substitulion ^_ ^ où ce rapporl est à 0, 
et résullera de la cotnbinaison des puissances de colte substilution avec les 9 substilu- 
tions du faisceau singulier, Son ordre sera évidomment pcp. 
Guani à F il contiendra, outre la substilution S a , ses transformées par les 
subslilulions de 1, parmi lesquclles se Irouvent les suivantes, S « , S « . Ces 
'Il 1 m,7n,ml),m • m , mfi.tn.m 
subslilulions, combinées entro elles et avec les subslilulions singulières, Ibrineront évi- 
demmenl un groupe d'ordre Donc l'ordre p(f de F sera un multiple de p'^'i. 
70. D'autre pari, cet ordre est un diviseur de 16p^9, ainsi que nous allons le 
nionlrer. 
Soil S^j^^ l'une quelconque des subslilulions de F. Ce faisceau contiendra ses trans- 
formées Sj,^^^ , Sj^^rt , • • • li contiendra donc la substilution 
^abcd ^bcad ^caba = \ ,Z ,U ttbcx , ttÒClJ , abcz ,<Pu\ . 
Celle substilution appartenanl évidemment à F, , on aura 
— - = une puissance de 0 , 
abc 
et puisque F contieni outre la substilution S^^^^ les suivantes S^^^^ , S^^,^,, , S^^^^, on aura 
de méme 
bcd 
,3 
= une puissance de g 
— - = une puissance de 0 
acd 
— — = une puissance de 0 . 
abd 
Divisanl membro à membreles égalilésci-dessus,on voit que les quanlités h\ c*^d* 
sereni entre elles comme des puissances de 6. Donc a , b ^ c , d seronl entre aux comme 
des puissances de t , t étant une racine primitive de l'équalion t*" = 1. 
Toutes les subslilulions de F seronl donc de la forme suivanle 
\ X ,y ,z ,u (IX , ax^ y , a-i* z , az^ u \ . 
71. Cela posé, l'ordre de F sera égal à AV, , k' désignant le nombre des valeurs di- 
slinctes par rapporl au modulo 4p que prend l'exposant p dans ses subslilulions (lequel 
nombrè est évidemment un diviseur de -ip) et l'ordre du groupe F, formé par celles 
de ses subslilulions qui soni de la forme 
\ X ,y , z ,u ax ,ay , a-r^ z , «t* u \ . 
