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D'autre pari est évideiument égal à k"<sì^ , k" désignanl le nonibre de valeurs distinctes 
niod. ip que prend l'exposant f dans les subslilutions de , Ie([uel nombrc est un di- 
viseur de ip, et 0)^ l'ordrc du groupe Fj formò par celles des substilutions de F^^ où y— 0. 
On a d'ailleurs par bypothèse w^^?? et par suite p9 = /,-7i"pcp= un diviseur de IGp'?. 
72. Xous pouvons donc énoncer celte proposition : 
Si k = 24, le noìubre p sera de la forine Sp^ , 5 étant un entier qui divise 
73. Deux cas sereni à distinguer ici, suivant que p sera ou non >7. 
1" Si p>7, le faisceau F, sera irréductible. Le faisceauF^, contenant les deux 
siibstitutions S f, et S ^ le sera évideramenl aussi. Enfin le faisceau F, fornié 
des substitutions où a = b , c=zd, sera également irréductible, car il contieni la substi- 
tulion S,^2 ,,^2q , produit des deux précédentes. 
Proposons-nous d'évaluer les termes de la somme 2 -y qui proviennent de la con- 
sidéralion des substitutions afférentes à ces trois faisceaux. Pour obtcnir le terme cor- 
respondant à chacun d'eux, il faudra évaluer le nombre des substitutions qui lui soni 
afférentes, el le diviser par le nombre des substitutions qui lui soni permutables. Les 
unes et les autres doivent d'ailleurs étre exclusivement chercbées parmi les substitu- 
tions de I (K 31). 
74. Considérons d'abord le faisceau F, . Celles des substitutions de I qui lui soni 
permutables soni évidemment les Gjo? substitutions appartenant aux 6 formes suivantes : 
\x,t/,z,u ax ,01/ ,du \ (16) 
\x,i/,z,u ay,bx,cz,du\ (17) 
\ X ,y , z ,u az ,by ,cx ,du \ (18) 
\ X ,y , z ,u ax ,bz ,cy ,du \ (19) 
\ X ,y , z ,u oy ,bz ,cx ,du \ (20) 
\ X , y , z , u az , bx , cy , du \ . (21) 
Toutes ces substitutions soni d'ailleurs échangeables aux substitutions de F,. Pour 
oblenir celles qui lui sont afférentes, il faut en retrancher toutes celles qui soni échan- 
geables aux substitutions d'un faisceau irréductible plus général que F, . 
On devra donc retrancher : 1° Les substitutions (!(>) qui sont échangeables à celles 
de F ; 2° les substilutions (17) qui le sont à celles de F.^ ; 3° Les substitutions (18) et (19) 
respeclivement échangeables aux substitutions de la forme 
\ X ,y , z , u ax ,by ,az ,dii \ 
\ X , y , z , u ax , hy , bz , du \ . 
Car les faisceaux ^^i^.^ formés par ces dernières substilutions contiennent Fi ; ils 
