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L'ensemble tles faisceaux F , F, , F, , F3 fournira donc à l'équalion fondamentale 
les lerme.s 
12p ' 3 ' 4 12J,p3^ 
liraité, et diviserà dans lous les cas 3V 5^ 7 
82. Soit au conlraire p<7. Les dónominateur du terme = io.'~ 3 ~ '^^'"^ 
?3 
83. Troisìème cas. k = S. 
Les substitutions de I seront des 8 formes suivanles 
\ X ,1/ ,z ,u ax , by , cz , du 
\ X ,p , z ,zi ai/ , bx , cz , du 
\ X ,y , z ,u ax , by , cu , dz 
\ X ,y ,z ,u ay , bx , cu , dz 
\ X , y , z , u az , bu , ex , dy 
\ X ,y , z ,u az , bu , cy , dx 
(31) 
(32) 
(33) 
(34) 
(35) 
(36) 
\ X , y , z , u au , bz , ex , dy \ (37) 
\ x ,y ,z ,u au , bz ,cy , dx \ . (38) 
Et si F contient une substitution S,,, il contiendra ses transformées par les 
substitutions de I, lesquelles se déduisent de S^^^^ en y opérant sur les coefTicients a,6,c,(/ 
les hiiit substitutions dérivées des suivantes {ab) , (ed) , (ac) , (bd). 
Soit F^ le faisceau formé par celles des substitutions de F où a — b. Deux cas se- 
ronl à distinguer, suivant qu'il est irréductible ou non. 
84. Si Fj est irréductible, cherchons le terme qu'il fournira à la somme 2 . 
ri 
Les substitutions permutables à F^ seront celles des formes (31) , (32) , (33) , (34) 
en nombre 4]5cp. Les substitutions (31) , (32) sont échangeables à celles de F^. Excluant 
les substitutions (31) échangeables à celles de F, il resterà comme afférentes à F.^ les 
substitutions (32). F, fournira donc le terme ^ = 4- • 
' Ap-f 4 
85. Supposons en second lieu que F^ soit réductible, mais que le faisceau F3 formé 
de celles des substitutions de F dans lesquelles a — 6 , c = d soit irréductible. Cherchons 
le terme qu il fournira. 
Les 8/jcp substitutions de I sont toutes permutables à F3. Dans ce nombre, les 
substitutions (31) , (32) , (33) , (34) sont échangeables à celles de F^. On doit exclure 
les substitutions (31) échangeables à celles de F. Les substitutions (32) sont échan- 
geables à celles de F^, et les substitutions (33) à celles d'un de ses transformés. Mais 
ces faisceaux étant réductibles, par hypothèse, on doit conserver ces substitutions. On 
3 
aura donc 3/)9 substitutions afférentes à F3 et ce faisceau fournira ainsi le terme — . 
