Supponendo una serie di n-\-ì variabili v^, v^, v^,.., v„, ed il si- 
stema di n equazioni 
i[v„,v,) = 0 , l{v,,vj=0 , ... , i(«^,,«j=0 , 
è evidente che si possono eliminare le n — 1 variabili intermedie 
V,, v_^,.., , ed aversi una equazione nelle variabili estreme e v^; 
ma la natura dell'equazione finale è dichiarata nel seguente teorema : 
Eliminandosi le variabili intermedie dal dato sistema di equazioni , la 
relazione tra le variabili estreme v^ e \\ è un'equazione della stessa forma 
di ciascuna delle equazioni proposte. 
Dimostr. Considerando in generale l'equazione 
cominceremo per trasformarla in due modi, ordinandola una volta ri- 
spetto a 1,., ed una volta rispetto av^, ed ogni volta aggiugnendo e to- 
gliendo il quadrato della metà del coefficiente del secondo termine. Così 
messo per brevità 
ÌA=cf—e'' , C = af—d' , E=hd — ae , 
B = de — bf , D = be — cd , F = ac — b' , 
ed inoltre 
F. = A — 25tv + ; C + 22), i-; — 2Ev? + Fy^ , 
F = A — 2/?v, + ( C + 2Z), t'/ — 2Ev ' + Fi- * , 
le due trasformate saranno 
[ (at-; + 2bi\ + c) V, + òi-; + d' i'^ + e] ^ + F, = 0 , 
[ (au; + 26v, + qv^ + òi-; +d'v^ + ey + V=0 . 
Ma le radici de' due quadrati equivalgono alle metà delle derivate par- 
ziali della funzione 4'(^'r)^.) prese rispetto a tv ed a v,; adunque differen- 
ziando l'equazione •^{Vr,v^)=0 , verrà 
F, ~ F • 
