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pel pentagono; e di fatto ordinando l'una e l'altra rispetto ad r, ed ese- 
guendo la divisione , si ha la relazione per 1' ettagono, sgombra di ogni 
fattore , 
{p + Q)Hp—<i)''r^ — 2m 'p — q]{p''—q'^)r^ — v^ 1" (p' — ff 
+ q)[f M) r^—V''q'' V"—2jp= q^ +?) r 
(*) Tre geometri, Fuss, Mcntion, e Richelot, pare che si siano provati a sviluppare la relazione per 
l'ettagono, che si riguarda come uno de'casi men semplici tra'poligoni degli ordini più bassi, allorché 
il numero de' lati è un numero primo , e non è senza interesse di porre a coutronto i loro risulta- 
menti con quelli da noi ottenuti. Ecco la relazione data da Fuss: 
<2.rpq{r[v-q) -P? +2r'] V(P=Oa^) + ^r[r\f + q") -fq']y{q-r){v+1 
=±{r[p-q)-vqyr'[f-ql+p'q^'\ ■ 
In quanto a quella data da Mcntion, il quale adopera elementi diversi, converrà porre 
j)qz=.r''i , ^'(2^' + ?'^) — P^ q^ — r* = r*y , 
e con questi elementi la relazione, cui perviene, èia seguente 
64 yi« + 32 y (1 - /) i5 — 16 y (1 + y)' + 8 vi +y)' (1 - 3y]i' + 4 ( 1 + y]SM ^ ^ 
-4(l + y)*i-(l+y)« ) 
E da ultimo se si ponga pH-g=2fì; p — 9=a, la formola del Richelot diviene 
[r* (P^ -qy-p'q'WiV+qy-P'q'] 
- 2r' (]) + 5) [r= {f + q^) - f q'^] [r^p-qY -p^q^] 
Così abbiamo quattro forme diverse per la relazione ettagonale; ma pure, se tutte sono esatte, rese ra- 
zioaali, ed espresse ne' medesimi elementi, è necessità che convengano tra loro. Intanto, se si fanno 
sparire i radicali da quella di Fuss , si ha una formola di 12° grado rispetto ad r, mentre la nostra 
è di 6° grado; ed esprimendo quella di Mention in p, 5, r, si ha pure una formola di 12° grado in r, 
diversa da quella di Fuss. Segue da questo raffronto che , se la nostra formola è esalta , quelle di 
Fuss e di Mention debbono essere affette da fattori estranei. Ora è facile di dileguare ogni dubbio , 
facendo corrispondere le formolo che consideriamo , al caso de' cerchi concentrici , dovendo ripro- 
dursi in tal guisa risultamenti già conosciuti sulla teorica delle sezioni angolari. Supposto, per mag- 
giore semplicità, uguale ad uno il raggio del cerchio V, nel caso de'cerchi concentrici saràp=g=l. 
Per queste ipotesi la nostra formola porge all'istante 
8r5_4r^ — 4r + l = 0 , 
conosciuta equazione di 3° grado, ciascuna radice della quale esprime l'apotema di un ettagono re 
golare iscritlibile nel cerchio di raggio 1; e si sa che tre sono le soluzioni. 
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