Rimarrebbe tuttavia a sopprimere da questo risul lamento il fattore da 
cui già lo sappiamo affetto, consistente nella formola che esprime la re- 
lazione per l'ettagono; ma tutto ciò non è che un soggetto di puro cai- 
regolare; ma a prima giunta ciò non sembra vero, e per due ragioni: l'una, perchè questa formola (b) 
trovasi coinciilL'utu con quel fattore estraneo, il quale, come si è visto nella nota precedente, accom- 
pagna la relazione per l'ettagono risultante dalla formola di Fuss; e l'altra perchè questo fattore è di 4° 
grado, mentre l'apotema del poligono regolare di nove lati dev' essere determinala da un' equazione 
di 3° grado, tre soli essendo gli enncagoni regolari iscritlibili. Ma, a dileguare ogni dubbio, noi cer- 
cheremo questa equazione, che può facilmente ottenersi osservando che, siccome — —40°, cosi il 
detto apotema è il coseno di 20°; e perciò, essendo in generale 
a „ a 
4cos'^ 3cos-=cosa , 
3 3 
a 
se si ponga 0 = 60°, cos — =cos20°.=r, l'equazione che determina l'apotema r dell'enneagono 
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regolare sarà 
(c) 8r^ — 6r' — 1 = 0 . 
Parrebbe adunque che le nostre deduzioni siano realmente in difetto ; ma pure non è cosi ; ed anzi 
esse ricevono ampia conferma dalla equazione (c), ossscrvando che questa formola è un divisore esatto 
di (b), e si ha identicamente 
Uri — _ i2r' + 4r 4- 1 = [Sr' _ 6r — 1 ) (2r — 1) . 
Da ciò si vede che la formola (b) porge effettivamente la relazione per l'enneagono regolare, però ac- 
compagnata dal fattore attualmente estraneo, 2r — i, il quale darebbe la relazione pel triangolo equi- 
latero; ma convien riflettere che questo fattore può soltanto essere determinato per lo passaggio dal 
caso generale al caso particolare de'cerchi concentrici, punto non esistendo nella relazione generale 
per l'enneagono, perchè la medesima non è soddisfatta dalla relazione triangolare r{p-ì-q) — pq=0. 
Intanto, poiché si tratta di un argomento così grave, qual' è quello de' fattori, che abbiamo l'abi- 
tudine di chiamare estranei, perchè non rispondono immediatamente alle quistioni, che miriamo a 
risolvere : argomento che non potrebbe ess 're abbastanza studiato nell'interesse della perfezione dei 
metodi : noi faremo ancora osservare intorno a ciò che precede, che 1' equazione di 3° grado, da cui 
dipende l'apotema dell'enneagono regolare, ha potuto esser messa in veduta colsoccorso di considera- 
zioni particolari , le quali non si estendono ad ogni caso; ma se si impiegano allo stesso oggetto le 
formolo più generali delle sezioni angolari, l'equazione , cui si perviene direttamente , non è già del 
3" grado , ma è proprio 1' equazione (fi) di 4" grado. In fatti , dinotato con a un arco qualunque, se 
pongasi cos a — r, si deduce da quelle formolo 
cos da = 236r9 — 57Cr' + 432r5 — 120r ' + 9r ; 
laonde supposto a~ — , l'equazione che determina l'apotema r dell'enneagono regolare sarà 
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236r9— 576r'+432r5 — 120r' + 9r4-l = 0 . 
