le quali mostrano come le proprietà precedenti sussistono ancora nel 
caso attuale. 
2. Involuzioni dei diversi ordini. Se nell'equazioni (1) del numero pre- 
cedente si supponga per i = m, k'"= ì , e quindi anche ^"""=1, gli ele- 
menti 05^ ed coincideranno con ooo, qualunque sia la posizione di 
questo elemento ; viceversa se per una posizione di , diversa da E ed 
F, ed a:_,„ coincidono con <x\, sarà k'"=\ , e k'~'"=ì , e quindi quella 
coincidenza avrà luogo qualunque sia la posizione di cc^; adunque nei 
sistemi equianarmonici consecutivi, se due elementi omologhi d'ordine qua- 
lunque, diversi dagli elementi doppii, coincidono tra loro, avverrà lo stesso 
per due altri elementi omologhi qualunque del medesimo ordine. I sistemi 
equianarmonici consecutivi per i quali gli elementi o pure coin- 
cidono con 05(5 .si diranno in involuzione deW ordine m o — m ; m o — in 
è il periodo dell'involuzione, ed il gruppo degli elementi («oi®!- • -«^m-i)» 
0 pure ((Bo, aù_i . . . a5_„,-i) ne sarà il ciclo. 
L'involuzione di 1" ordine non è altro che l'identità dei sistemi, quella 
di 2° ordine è l'involuzione ordinaria. 
Se gli elementi doppii E ed F coincidono in 0, essendo 
r 71 7=i — = > 71 Ti = — W« , 
tanUay^ tanOa>^ tanOùi_^^ tanOx>g 
non potranno essere i sistemi in involuzione d'ordine m o — m se non 
quan(^o k=0, ma allora i sistemi sono identici. 
Applicando l'equazioni (1) del numero precedente all'elemento 0, si 
, senEOi senF 0_ , , • ,. , 
avrà k = — 7^-^ = — Tr^. onde riterendo tutti gli elementi all'oneine 
senUiF senO_^F ^ ^ 
0, e ponendo 00, = 0^.0=di, verrà 
k' + ì 
tan E0= tan 0F= . tan ò. . 
A"' — 1 
Ora essendo nell'involuzione d'ordine m o —m, k'"=ì , o k~'"=i , 
indicando con ja un numero intero qualunque, e con tt il rapporto della 
circonferenza al diametro , sarà 
(U K = cos hV— l.?en = e , 
>'i m 
