d'ordine *, e gli elementi , . . . bp , armonici di a d'ordine /3, ri- 
spetto al ciclo , (iJz . . . a;, . . . q}„,) , supposto a -f ,5 = r/i, saranno de- 
terminati dall'equazione 
sen*£a sen'^Eb senz'Evi 
^' sen^aF ' senHf^ sen^ViF ' 
adunque gli elementi Ci, , fi. ... Q.^ ... £1^ armonici di oc , d' ordine 
n<m , rispetto al ciclo (x\ , x\ . . . a- . . . saranno determinati dal- 
l'equazione 
sen''Eil_sen'"E:-i seix""' E-c sen" ECli 
sen''ilF~7èrr7~F ' sen"'"'rF~ sen'a,F ' 
si avrà quindi la proprietà: In un'involuzione d'ordine m, gli elementi 
armonici di un elemento , d'ordine n<ra , rispetto ad un ciclo qualunque 
dell' involuzione , costituiscono un ciclo di mi' altra involuzione, d'ordine n, 
che ha per elementi doppii gli elementi doppii stessi dell' involuzione propo- 
sta. Inoltre se x-^- (2 = m , ed è a un elemento armonico di b d'ordine », 
rispetto ad un ciclo qualunque dell' involuzione, sarà viceversa b un ele- 
mento armonico di a d'ordine (2, rispetto allo stesso ciclo. 
Se x coincide con uno degli elementi ro,. del ciclo [x,,óì,... Xi.-.ixjj, 
«■ farà parte degli elementi armonici di a:, d'ordine qualunque, rispetto 
allo stesso ciclo. Se poi a? coincide con E o F, ì suoi elementi armonici 
dei diversi ordini rispetto ad un ciclo qualunque dell'involuzione sa- 
ranno tutti riuniti in F o E; adunque in un'involuzione d'ordine m, gli 
elementi doppii sono armonici l'uno dell' altro , dei diversi ordini, rispetto 
ad un ciclo qualunque dell' involuzione. 
Indicando con ce/ gli elementi armonici di x, d'ordine m' rispetto al 
ciclo (o), , aja . . . dv . . . ccj), e con cc'" gli elementi armonici di (u, d'or- 
dine in" rispetto al ciclo [x,', xj. . . xi'. . . xj) , si avrà 
sen^' Er/ _ sen"' E:; sen"'-''' E.: 
sen- F ~ sen'''xiF ' .«cn"- "'yF ' 
«f/i""£r/'_ seti^E^i' seìi" 
~seìr%-iiF^ se,r''r/F " sen""'"-- ^F ' 
onde 
sen'" Ey}' _ sen'" Evi sen'"-'" 'E'o 
sen - v,"F~~ sen"'y,F ' sen"'-'" <cF ' 
sicché Xi" saranno anche gli elementi armonici di x, d'ordine m" li- 
