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•esso la tangente t, si chiamerà corrispondente del punto U, considerato appartenente 
a quella linea, il punto all' inlinilo di / : in sostanza però tale punto èrimaginedel 
punto infinitamente vicino ad U sulla linea tracciata. 
Nel piano »c la sola coppia dei punti ciclici non è imagine di un' unica coppia di 
punti (imaginarii) di Q; ma sibbene di lutti i punti delle rette osculatrici di Q passanti 
per U. 
4. È pur noto che, qualunque sia Q, una sezione w si proietta da U su n in una 
conica che passa per 1 punti ciclici del piano tt, e quindi in un cerchio to'. 
In particolare la sezione col quadro u sarà il circolo <? che coincide con la sua ima- 
gine e si dirà anche traccia di Q su e la sezione col |)iano all'infinito sarà proiettata 
in un cerchio % imaginario, reale o degenere secondo che Q sarà un ellissoide, od un 
iperboloide a due falde oppure un paraboloide. 
In ogni caso la traccia e la retta di fuga f'^ del piano di una sezione piana w 
saranno rispettivamente su v: 1' asse radicale comune ad w' e <p ò ad w' e x', intendendo 
per asse radicale l'asse di sintosi associalo alla retta all'infinito che è già un asse di 
5intosl comune ai cerchi suddetti. 
5. Ciò posto, per studiare la proiezione ombelicale relativa aQ esamineremo par- 
litamente i casi in cui Q sia un ellissoide, un iperboloide a due falde, o un paraboloide 
ellitfico. I primi due casi potrebbero anche traltarsi insieme offrendo grande analogia 
tra loro, ma preferiamo di trattarli a parte per maggior chiarezza, specialmente nelle 
costruzioni grafiche. 
6. Sia Q un ellissoide. 
Si proiettino dai due ombelichi associati U ed rispettivamente i due sistemi 
piani che costituiscono la polarità determinata dall'ellissoide nel piano all' infinito. 
Si hanno due stelle correlative che, con la intersezione di piano e raggio corrispon- 
dente generano l'ellissoide. Queste due stelle sono secate dal piano ir in due sistemi 
piani reciproci, i quali, come è facile vedere, costituiscono una polarità e precisamente 
la polarità definita in « dal circolo ? traccia dell'ellissoide. 
Dunque: se si considera una coppia cosliluila da un raggio ed il suo piano diame- 
trale coniugato rispetto alf ellissoide Q e dai due ombelichi associali U, U, si tirino ri- 
spettivamente gli elementi omonimi paralleli ad essi, questi secheranno « in una coppia 
di polo e polare rispetto al circolo fondamentale <p. 
7. Si osservi che, se dai due ombelichi U ed si proietta su n uno stesso punto 
cuna stessa retta, del piano all'infinito si hanno due elementi corrispondenti nella 
simmetria rispetto al centro 0 dell'ellissoide, ovvero nell'omologia armonica n di cen- 
tro 0 ed asse la retta all'infinito di ir. 
Ora il prodotto di ««p per la omologia armonica Sì, poiché i! centro e l'asse di ft 
sono polo e polare in «.p, è un'altra polarità. Essa è la polarità ir^- rispollo al circolo 
<t' immaginario coniugato del circolo <p. 
Dunque si può affermare che : 
La polarità j:^- rispello al circolo <f' imaginario coniugalo del circolo fondamentale 
