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I centri reali Sj.Sj delle suddette omologie che trasformano <p' in '\i appartengono 
alla polare del punto all' inlìnito di 6,8^, che è un bipolo rispetto a 9' e 4*'. 
E gli assi delle omologie sono p„ e g ; e poiché è all'infinito, due di tali omo- 
logie diventano omotetie. Ed allora è evidente che i punti S, .S^sono i centri di omote- 
tia diretta ed inversa che trasformano 9' in 0 quindi ancora 9 in cioè sono i centri 
di similitudine S, ad S, dei due cerchi <p e 4^. 
Dunque: i centri ed di omolelia divella ed inversa dei cerchi 964» so/10 le 
imagini sul quadro dei punti del piano all'infinito centri di omologie reali che mutano 
la conica all' infinito di Q nell'assoluto euclideo. 
Da ciò si deduce che: le rette US, ed US^ sono le rette focali del cono che ha il ver- 
tice nelVombelico \J ed è parallelo al cono assintotico deWellissoide. Esse trovansi nel 
piano dell'ellisse principale p ed incontrano il piano di n nei punti Sj,S, i quali dividono 
armonicamente, in un rapporto noto, il centro 0 di Q ed il piede P della perpendicolare 
abbassata da U su ir. Questo rapporto è quello che passa tra il raggio della sezione circo- 
lare prodotta da n e la distanza dell'ombelico U dal piano n stesso. 
É senz'altro poi evidente che: S, ed sono i punti di fuga delle relle focali del cono 
assintotico imaginario dell'ellissoide ; e dei due piani ciclici di questo cono uno è il qua- 
dro e l'altro ha per retta di fuga il diametro q del cerchio B,BjN,N, e per traccia eviden- 
temente la parallela a q condotta da 0. 
14. Dnta l'imagine D' di un punto D di Q, cerchiamo le indicazioni del piano tan- 
gente 5 in D a Q. 
Poiché U ha per piano polare rispetto a Q il piano anteriore e D ha per piano po- 
lare il piano tangente 5, la retta d comune a 5 ed al piano anteriore è la retta polare 
di UD rispetto alla quadrica; e quindi il piano polare di D' passerà per d. Ma esso passa 
pure per la polare d^ di D' rispetto a 9; dunque sarà d parallela a d^ ed essendo d pa- 
rallela alla traccia ts del piano 5, sarà tj parallela a d, e quindi perpendicolare ad OD'. 
Inoltre, uniamo il punto 0 con D e sia T il punto d'incontro della congiungente con 
ij. Tenendo conto della sezione prodotta nell'ellissoide col piano UU,D, e ricorrendo ad un 
caso particolare del teorema di Desargues relativo a questa sezione ed all'angolo cir- 
coscritto di cui i punti di conlatto siano U e D, si avrà ohe il punto T è il punto cen- 
trale di una involuzione di cui due punti coniugati sono su 9 ed un punto doppio è D . 
Dunque basterà allora trovare di D' il reciproco principale D, rispetto a 9 ed il punto 
medio T di D'D, sarà un punto della traccia t^. 
In fine, si unisca OD che sechi ancora l'ellissoide in D, ed il piano anteriore in F, , 
il piano polare di passerà per U e sarà parallelo al piano tangente 5 in D; e quindi, 
ndicando con F il coniugato armonico di F, rispetto a DD,, proieltiamo da U il gruppo 
armonico DD,F,Fsuw. Si avrà cosi il gruppo DD, 00 F anche armonico e quindi si de- 
duce che F è medio del segmento DD', . Ma F' è un punto della retta di fuga del pia- 
no s e d'altra parte D', è il reciproco principale di D' rispetto a 9'; dunque possiamo 
conchiudere che: 
Dato il punto D imagine di un punto D di Q, si trovino i punti D,D', reciproci prin- 
Cìpali di D ordinatamente rispetto a (f e a 9'. // punto medio T di DD, appartiene alla 
traccia \s del piano tangente S in D a Q ed il punto medio F' di D D', alla retta di fuga 
f f dello stesso piano tangente, ed inoltre Ij ed f 5 sono perpendicolari alla congiungente OD. 
