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E ciò perchè il polo del piano del quadro che dà per sezione 9 è il punto all'inQ- 
Lito di OU. 
21. Tra le tante sezioni piane di Q vi è quella i che ha per imagine il cerchio <^ di 
distanza e quella tq che ha per imagine 4^': esse sono le sezioni della quadrica con i coni 
che da U proiettano 4' e 4*', cioè col cono di rotazione intorno ad UP che ha per vertice 
U, per angolo al vertice 45' tra l'asse di stazione UP ed una generatrice, ed il cono 
^maginario coniugato ad esso nella stella [U]. 
Queste sezioni è ed iq possono facilmente flssarsi in posizione. 
La i trovasi in un piano che ha per traccia l'asse radicale t. comune a 9 e 4^ e per 
retta di fuga /"^ l'asse radicale comune 3964;. 
La v) trovasi in un piano che ha per traccia l'asse radicale comune a 9 e 4^' e 
per retta di fuga f'^ quello comune a 9' e 4/'. 
Queste coniche 4 ed t) sono utili per considerare le sezioni dello spazio le cui 
imagini secano diametralmente oppure ortogonalmente <\i. 
Si ha cosi che: 
Tutti i circoli di « che secano ortogonalmente <\> sono le imagini delle sezioni dell'el- 
lissoide fatte con piani passanti pel polo X di 4 e ? circoli che secano diametralmente 4; 
sono le imagini delle sezioni piane passanti pel polo Y di r\. 
Volendo determinare anche la posizione di questi poh X ed Y che possono avere 
un certo interesse relativo alle proprietà ombelicali, si noti che essi trovansi sulla UP, 
pel teorema di Chasles. 
Si consideri quindi il piano dell'ellisse principale p e si segnino sulla PO i se- 
gmenti PM, = PMj = PU: le rette UM^ e UM^ sechino p ulteriormente in M^M^. La retta 
M,M, sarà l'intersezione del piano «5 di i col piano di p. 
La ìM^M, seca UP nel punto Y che è il punto Frégi er relativo ad U ed alla co- 
nica cioè è il centro della involuzione ellittica determinata sopra p dall'involuzione 
di angoli retti di vertice U. Tale punto Frégi e r deve trovarsi pure sul diametro di p 
che passa per gli altri due ombelichi_U,_ed U3, perchè l'angolo U^UUs è retto. _ 
Ciò posto sia N il punto dove M,M, seca u, tangente in U a p. La polare di N ri- 
spetto a p sarà lajio^rmale w=UP. Finalmente sia y la polare di Y e poniamo ?«y^X, 
saràX il polo di M^M, rispetto ape quindi anche del piano «e rispetto a Q. 
Inoltre, poiché le rette isotrope di U secano p nei punti dove P è incontrata dalla 
polare y di Y, tale retta y sarà la traccia del piano della conica ti sul piano di p, ed es- 
sendo Y il polo di ti e situalo sulla UjUg, sarà y coniugata a questo diametro e la co- 
nica tj è un cerchio imaginario appartenente alla serie di sezioni circolari antiparallele 
a quelle relative agli ombelichi U ed U, . 
_ Dunque : i poli X e Y delle coniche i ed x] rispetto a Q sono situati sulla normale 
n = UP nell'ombelico U alla quadrica. Inoltre il punto Y è il punto Frég ter relativo ad U 
ed alla conica p, oppure è il punto dove la normale n seca il diametro passante per gli 
ombelichi U, ed U3 ed il punto X è il reciproco di Y situato sulla normale stessa. 
Si osservi poi che se K' è il polo di rispetto a 4^. sarà K' l' imagine del centro 
di 4 ed indicando con P',P, la corda di 4^ perpendicolare in K' al diame4ro OP saranno 
