Ciò poslo se r ed r, sono due rette polari rispello a Q, le sezioni piane di Q con- 
dotte per /■ avranno i loro poli sulla i\; e quindi, tenendo presente il teorema di Chas- 
les, proiellando dall'ombelico U, si ha che: 
Data una rella r dello spazio^ individuala dal fascio di cerchi "I>r, la congiungenle 
y\ ì centri di questi cerchi (centrale del fascio è l'imagine della polare r^ di r; ed i 
punti Poncelel del fascio 4>^, cioè i centri dei cerchi di raggio nullo del fascio stesso, soìio 
le imagini dei punti d'incontro della r, con Q. 
Conducendo da questi punti i piani tangenti a Q, con la costruzione nota (v. n.° 14), 
si hanno i piani tangenti condoìti da r a Q, 
Da ciò si deduce che: 
// fascio che rappresenta sul quadro la polare di r rispetto a Q è il fascio dì 
cerchi ortogonali ai cerchi del fascio <I>^. 
Ed ancora la ^seguente proprietà notevole della proiezione ombelicale: 
Due rette r , r^ polari rispetto a Q si proiettano dall'ombelico U sul piano iz in due 
rette perpendicolari tra loro. 
Tenendo conto che le imagini delle sezioni prodotte in Q da due piani reciproci 
sono due cerchi (o\(o\ che si secano ortogonalmente, possiamo ancora dire che 
Nel fascio ogni cerchio w ìie ammette un altro Le coppie w'to'^ si corrispon- 
dono in una involuzione che rappresenta le sezioni della quadrica con la involuzione di 
piani reciproci attorno ad r. I cerchi doppi [ortogonali a se stessi) sono i punti Poncelet 
del fascio, considerati come cerchi di raggio nullo, e rappresentano le sezioni fatte nella 
quadrica con i piani tangenti condotti da r. 
Nel caso che la retta r fosse un diametro di Q il fascio è costituito da cerchi 
che secano diametralmente 9; e poiché in lai caso è situalo a distanza inlìnila ed è 
la polare del punto all'infinito di r rispclto alla conica r„ dell'ellissoide, così si avrà 
sul quadro che: 
// punto di fuga dell'asse radicale del fascio «t^ che rappresenta un diametro r di Q 
è il polo rispetto a 9' della centrale t\ del fascio stesso. 
Nel caso che la rella r sia parallela al quadro, la polare r^ si appoggia alla retta 
OlTe quindi è chiaro che la sua imagine passa pel centro 0 di 9 (cfr. n.° 24 d). 
Nel caso che la retta r sia situata nel piano anteriore, il fascio <I>, è costituito da 
cerchi concentrici, ed il centro comune R', è in tal caso la imagine della polare r^ , che 
passa per l'ombelico U, ed è nel tempo stesso anche la imagine del punto di contatto 
dell'altro piano tangente condotto da r, oltre il piano anteriore. 
26. Cono circoscritto a Q avente il vertice in un punto dato K. 
Possiamo individuare un punto K dello spazio medianle una rete di cerchi che 
sono le imagini delle sezioni prodotte in Q mediante piani passanti per K. _ 
Gli assi radicali dei fasci della rete sono le imagini delle rette passanti per K ; 
e quindi il centro radicale della rete sarà l'imagine K' di K da U. 
Per avere la rappresentazione di una retta portatrice di K si considerino ad es- 
due cerchi w e X' della rete P* e dell'asse radicale comune a w' e X' si trovino la traccia 
ed il punto di fuga secondo ciò che è stalo detto nel n.° precedente. 
