Esse sono un' iperbole reale w nel piano A^OC, , un'ellisse reale òT, nel plano AjOB^ 
ed un'ellisse imaginaria w, nel piano B,OCj. 
Inoltre si sa pure che i punti comuni alle coniche focali ed alle coniche principali 
sono i 12 ombelichi della superQcie. 
Dopo ciò sarà facile determinare le imagini di queste coniche nella proiezione 
ombelicale. 
La conica w, giacendo nel piano A,OCi, passante pel centro di vista, ha per ima- 
gine una retta, la retta OP. 
Si consideri poi l'ellisse principale p e siano U jUj due ombelichi reali, la cui con- 
giungente é perpendicolare all'asse A,Aj. Il piano tangente in U a Q ed il piano tan- 
gente a Q in U3 si secano lungo una retta r che incontra l'asse A^A, ed é parallela a 
BjBg, perchè i piani tangenti suddetti passano pel puuto all'infinito di B,Bj. 
Su questa retta r le rette isotrope di U nel piano anteriore e le rette isotrope di U3 
nel piano tangente in questo punto si secano in due punti che sono altri due ombeli- 
chi imaginarii di Q e per i quali passa la conica focale w , . 
Questi due ombelichi imaginarii sono proiettati da U nei punti ciclici sul piano ir; 
dunque l'imagine w', di oj~ è un cerchio. 
Facendo un ragionamento analogo per gli ombelichi U ed Uj la cui congiungente 
è perpendicolare a C,C,, si deduce che anche l'imagine w'^ della conica focale è un 
cerchio. 
Dunque: Le imagini to', , w'^ delle coniche focali 'Z^ , ójj contenute rispetti vamenfe nei 
piani AjOBj , B,OC^ sono due cerchi. 
11 centro della u)\ è l'imagine del polo di r rispetto ad w,; e quindi si troverà sulla 
retta OP, perchè il polo suddetto appartiene ad A, A,. E così pure sulla OP si troverà il 
centro di 
Per determinare poi completamente le imagini fo\ , oì\ si procederà cosi: 
Si ribalti l'ellisse principale p intorno alla OP, e come si è accennata nel n.° 13, d) 
si trovino i vertici A, , A^ e C, , riballamenti rispettivi di A, , A^ e C, , C^. Fatto poi 
centro in e raggio OA, si descriva la circonferenza che sechi ^^^^ nei punti F, ed F.^, 
saranno F^Fj i hiochi reali dell'ellisse p ribaltamento di M quindi i riballamenti dei ver- 
tici sull'asse A, A, della conica co,. Essi saranno proiettati da U, ribaltamento di U 
sulla OP nei punti F',Fj estremi di un diametro di w'^. 
Tagliando poi sulla C,Cj i segmenti OFj^OF^^ OF,, saranno F3 ed F^ i fuochi 
ideali di p sulla C^C^ e vertici di w^, ribaltamento di w^. Le proiezioni da U dei punti F^ 
ed F^ sulla OP saranno i vertici F3 ed F'^ di un diametro di o>\. 
In sostanza : i fuochi reali ed i fuochi ideali dell'ellisse principale p sono proiettati 
dall'ombelico U sul piano ir rispettivamente in diametri delle imagini co , , co'^ delle coniche 
focali , 
Per ottenere poi la vera grandezza delle coniche focali, occorrerà ricorrere al ri- 
baltamento dei loro piani. Però se si sono determinate le grandezze dei Ire assi dell'el- 
lissoide, come si è indicato nel n." 13, d, si potrà con queste grandezze determinare 
con costruzioni ovvie nel [)iano tre coniche rispettivamente eguali ad w, toj ,co^. 
