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30. Sia X' llmagine di una linea X di Q, determinare in un punto M di~X la tan- 
gente, il piano normale, la normale principale, il circolo osculatore e la hinormale. 
Sia M' rimaglile del punto M di X, la laiigcnle m in M' a X' sarà l'imagine delia 
langonte m nei punto Al a X. Determinando poi in M il piano tangente (/mj/^'m), i punti 
dove_/M ed /"„ secano m saranno rispettivamente la traccia T ed il punto di fuga F' 
della m, la quale è con ciò completamente determinata. 
Del punto di fuga F' della tangente m si trovi la polare f rispetto al cerchio T' e 
si avrà la retta di fuga del piano normale, il quale resta determinato dalla condizione 
che deve passare pel punto (M'.TF'). 
Il circolo p' osculatore a X' in M' sarà l'imagine sul quadro della sezione piana p 
della ([uadrica, osculalrice a X in M. E il suo piano (^,s') sarà il piano osculatore a 
X in AL 
L'intersezione del piano col piano normale darà la normale principale della 
curva in M. 
Ribaltando il piano osculatore , s'), il circolo ?' si ribalterà in una conica p che 
conterrà il riballamenlo M di (M', TF ). A questa conica si traccerà in M il circolo oscu- 
latore X, il quale, rialzando il piano, darà una conica x imagine del circolo osculatore 
in M il quale già si é avuto in vera grandezza in x- 
Della retta di fuga s del piano (5,s') osculatore a x in M si trovi il polo S' ri- 
spetto a ^. Sarà S' il punto di fuga della binormale a X in M, e questo sarà completa- 
mente determinata dalla condizione che deve passare per questo punto. 
31. Le linee di curvatura dell'ellissoide sono le intersezioni della quadrica con 
gl'iperboloidi che hanno per fuochi gli slessi fuochi delle tre coniche principali dell'el- 
lissoiile, e quindi ancora con gli iperboloidi che hanno comune con l'ellissoide le tre 
coniche focali. 
È nolo pure che una linea di curvatura è proiettala da un punto all' infinito di un 
asse secondo un cilindro quadrico che determina su di un piano arbitrario una conica 
appartenente ad una schiera. 
Le quattro tangenti fisse della schiera sono le sezioni col piano arbitrario dei quat- 
tro piani tangenti alla quadrica nei quattro ombelichi appartenenti al piano principale 
coniugato all'asse considerato. 
Per disegnare tali linee, imagineremo proiettate le linee di curvatura dal punto 
all'infinito dell'asse BjBj sul piano «p dell'ellisse principale p e delerminata_poi l'ima- 
gine di una di esse su questo piano, ne otterremo facilmente l'imagine da U su 
A tal uopo si ribalti il piano dell'ellisse principale p e si determinino i ribaltamenti 
U , U, , U, .Uj dei quattro ombelichi reali U,Ui,Uj ed Uj. In quesU quattro punti si con- 
ducano le tangenti alla conica p ribaltamento di P e si avrà un rombo. 
Una conica qualunque X iscritta in questo rombo sarà il ribaltamento dell' imagine 
di una linea di curvatura X sul piano principale itp. 
Sia L un punto qualunque di X, si proietti L da U sulla OP in L' e si conduca da 
U la parallela ad LO, che sechi OP in F', sarà (L', OF ) l'indicazione del punto L^ del 
piano itp che ha per ribaltamento L. 
