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per l'ellissoide, cioè: le imagini di due punti reali o ideali diamelralmenle opposti del- 
l' iperboloido sono equidistanti dalla polare del punto di fuga del diametro assegnato, 
rispetto a 9'. 
Le imagini suddette rappresentano poi (Jue vertici reali 0 due vertici ideali, secondo 
che il punto di fuga F' del dato diametro è interno oppure esterno a 9'. 
/) Una retta /• dello spazio si potrà rappresentare, anche nel caso dell' iperbo- 
loide, mediante un fascio <I>^ di cerchi, di cui i [)unli base sono i punii d'incontro con 
la quadrica (e l'asse radicale del fascio è l'iniagine della retta). 
_ Ijjunli Poncelel del fascio-sono le imagini dei punti d'incontro di Q con la polare 
/"j di r e detìniscono il fascio ortogoiialj a 4>^, che rappresenta la retta 7^, 
È pur facile, dopo quanto si è detto per le sezioni piane, essendo date le indica- 
zioni T , F' di una retta, determinare il fascio che la rappresenta; e viceversa. • 
Un punto M dello spaziose rappresentalo da una rete Rm di circoli, ed è facile tro- 
vare una retta portatrice di M in proiezione centrale; e viceversa, 
L'iniagine della intersezione di Q col piano polare di iM sarà sempre data dal cer- 
chio che ha per centro il centro radicale M' della rete (imagine di M) ed è ortogonale a 
tutti i cerchi della rete. 
k) Tralasceremo pure come ovvii i risultati ottenuti per 1 cambiamenti del centro " 
di visla u del piano del quadro. 
Ci occuperemo solo delle coniche focali. 
É nolo che nei tic piani principali dell'iperboloide vi sono tre coniche focali, e 
precisamente nel piano A,OCj un'ellisse imaginaria w, nel piano A^OB, un'iperbole 
reale e nel piano B,OC, un'ellisse imaginaria w[. 
La w si proietta sulla reità OP. 
Le coj ed co^ si proiettano in due cerchi , il che si vede con un ragionamento ana- 
logo a quello fatto per l'ellissoide. 
Per la coslruzione di ques!i cerchi, si ribalterà l'iperbole principale p, si trove- 
ranno i fuochi F, Fj reali sull'asse A, A/, essi corrispondono a due punti delio spazio 
che sono proiettati da U nel diametro di w'^ imagine di cò^. La w'^ è un cerchio reale. 
Sull'asse C.Cj ribaltamej^to di C,C, , tagliando, a partire dal centro, OFj^OF^— OF, , 
i punti F3 ed saranno da U proiettati nel diametro sulla OP di <o',, imagine di col. La 
to'j è un cerchio ideale. 
/) Finalmente per la coslruzione delle linee di curvatura ci riferiremo a quanto 
è stato dello nel caso dell'ellissoide. Poche variazioni di costruzioni vi saranno, ma il 
ragionamento fallo per la ricerca delle imagini di tali linee rimane in sostanza lo slesso. 
35. Sia invece la quadrica data un paraboloide ellittico Q. 
a) Si scelga in tal caso un piano n , coniugato al diametro che passa per l'om- 
belico U. 11 cerchio 9, secondo cui questo piano seca il paraboloide sarà sempre la 
traccia di Q su sia 0' il suo centro. Il circolo j> che ha per centro il piede P della 
perpendicolare abbassala da U su ir e per raggio ÙP sarà il circolo di distanza. 
L'assoluto euclideo dello spazio sarà sempre proiettalo nel sistema polare rispetto 
a 4*', ma la linea di fuga della quadrica non è più rappresentata dal circolo ?' coniu- 
galo di 9, ma sibbene dal circolo % imaginario e degenere individualo dalla involuzione 
dei diametri coniugati rispetto a 9. 
