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per olleiiere l'imagine F' del fuoco F bisogna trovare il simmeliico F' di 0' rispello a P, 
proiezione di N. _ 
e) l piani langenli a Q nell'ombelico U e nell'allro ombelico U, contenuto nella 
parabola ^, si secano in una retta r che incontra l'asse a di p ed è perpendicolare al 
piano . Su questa retta s'incontrano le rette isotrope di U e di U, nei loro rispettivi 
piani tangenti. I punti d'incontro sono altri due ombelichi imaginarii del paraboloide, 
che indicheremo con ed U3. Le loro imagini sono evidentemente i punii ciclici del 
piano iv. 
f) Data l'imagine D' di un punto D del [laraboloide, determinare le indicazioni 
di una retta passante per esso. 
Sceglieremo per retta portatrice di D il diametro d passante per D. A tal uopo si 
consideri il piano UUD, esso seca Q secondo una parabola e cp in MM'. Se indichiamo 
con D, la traccia del diametro d, considerando il triangolo costituito da U,D e dal 
puntu 0^ all'inhnilo del paraboloide, si ha che la retta MM' reciproca al lato UO^ seca 
gli altri due in due punti reciproci. Quindi D, è reci[)roco di D' situalo sulla O D' (e noi 
diremo D, reciproco principale rispello a 9 di D'). 11 diametro d avrà allora per traccia 
D, il reciproco principale di D' rispello a <p e per punto di fuga il punlo 0'. 
Per avere le indicazioni del piano tangente 5 in D, si noti che la traccia di esso 
sarà l'asse radicale al linilo relativo a ? ed al cerbio (D ) di raggio nullo; e quindi essa 
è la retta e(iuidislanle da D' e dalla polare di D' rispetto a ?. La retta di fuga f s è poi 
l';)sse radicale al hnilo relativo ai due cerchi di raggi nulli (D) e x e quindi fs è la 
perpendicolare a D O' nel suo punto medio. 
Avute le indicazioni del piano tangente 5 in D, facendo uso del circolo ^ si co- 
nosceranno subito le indicazioni della normale nel punto D slesso. 
g) Sezioni piane. 
Una sezione piana qualunque w si proietta da U su v: sempre in un cerchio to'. La 
traccia del piano 'k^ di w è l'asse radicale comune ad w' e ? e la retta di fuga /"„ è 
l'asse radicale comune al cerchio w' ed al cendiio x di raggio nullo. 
Por avere l'asse radicale 1^ sia nel caso che w' sia un cerchio reale, ovvero un 
cerchio ideale (rappresentando cosi una sezicme imaginaria di Q) basta quanto fu detto 
in i)roposito nel caso dell'ellissoide. 
L'asse radicale /'u é poi la retta equidistante da 0' e dalla polare di 0' rispetto 
ad w'. 
Il teorema di Chasles è vero anche nel caso del paraboloide, cioè il posto H del 
piano è |troiellalo semiire dall'ombelico U nel centro H' dell' imagine to'. 
Per meglio precisare le costruzioni graliche da fare per determinare l'imagine a> 
di (o, consideriamo il piano OUH: esso seca Q secondo una parabola "y che ha comune 
con 9 i vertici G,G' e con a> i punti E, E,. La retta E E, taglia GG' in un [)unlo T della 
traccia di ir„. _ 
Da U si conduca la parallela ad E E, che sechi la parabola y in F e GG' in F', sarà 
F' nn piMito della retta di fuga di ir^. 
Siccome il polo H di ir^, i)el teorema di Chasles, si proiella nel centro H' della 
to', che trovasi sulla GG', sarà la GG', che unisce il centro H' di to' col centro 0' di ?, 
perpendicolare sia a che ad /'u. 
hiolire considerando il punlo F come imagine del [)unlo F di r, la traccia F, della 
