passa pel punto Frégier relativo ad U, che è anche il punto F dove la normale in U a 
Q incontra il diametro passante per l'ombelico U, . La traccia di y) sul piano di p è la 
polare di tale punto Frégier F. Ed è chiaro che t] è un circolo imaginario della 2' serie 
di sezioni circolari. 
Sulla normale n in U a Q oltre il punto F vi è pure il punto H dove n incontra il 
piano di tj. Sarà H il polo di |. Sicché e sono due piani reciproci rispetto a Q. 
I punti H ed F sono i centri delle stelle dello spazio i cui piani secano Q in coni- 
che che hanno per imagini cerchi che secano 4^ ortogonalmente 0 diametralmente. 
/) Per trovare le imagiiii^ dei punti d'intersezione con Q di una retta r si con- 
durrà per la retta /• una sezione qualunque w e si determineranno poi le imagini dei 
punti dove la retta incontra la sezione. Essi sono i punti dove l'imagine )' di r incon- 
tra co', imagine di w. 
È però più semi)lice pel disegno servirsi di una sezione diametrale. 
Se la retta è un diametro uno di questi punti d'incontro è all'infinito ed ha per 
imagine 0', l'altro è il reciproco principale della traccia della retta rispetto al cerchio 9. 
Tralasciamo come ovvii , dietro quanto si é detto per l'ellissoide, i casi in cui la 
retta sia parallela al quadro, 0 nel piano anteriore, 0 sia data mediante le ordinarie in- 
dicazioni in proiezione centrale oppure mediante il fascio rappresentativo <I>r di cerchi. 
Come [ture tralasciamo, perché possono facilmente estendersi al caso del parabo- 
loide, la ricerca dei piani tangenti condotti da una retta, il cono circoscritto che ha per 
vertice un dato punto; eccetera. 
m) Coniche focali. 
Per le coniche focali si osservi che, nel caso del paraboloide ellittico, le coniche 
focali sono due parabole w , (o^ che stanno nei piani diametrali principali, l'uno dei 
quali è e l'altro é perpendicolare ad esso lungo l'asse a di Q. Le parabole focali ^,07, 
hanno lo stesso asse del paraboloide, ma le aperture rivolte in sensi opposti, hanno gli 
slessi fuochi delle due parabole principali; ed inoltre il fuoco dell'una é vertice del- 
l'altra. 
La parabola co si proietta sulla retta OP stessa. 
La (o^ passa per i due ombelichi imaginarii Uj ed U3 che si proiettano da U ne 
punii ciclici di ir. Quindi la w^ si proietta in un cerchio to', . 
II cerchio to', ha per un diametro il segmento compreso tra il punto 0' e la proie- 
zione da Ù del fuoco F della parabola principale punto che come abbiamo visto è il 
simmeh'ico di 0' rispello a P. 
Sicché indicando con F' l'imagine del fuoco F della parabola principale P la conica 
focale w, ha per imagine il cerchio di centro V e raggio I*0'=PF'. 
n) Linee di curvatura. 
Accenniamo linalmenle anche al modo di ottenere le linee di curvatura del para- 
boloide elliliico. 
Si riballi il piano principale intorno ad O'P e si determinino i ribaltamenti U 
<li U, a ilell'asse a di p (e (piindi di Q) ed U, dell'altro ombelico reale U, . Tracciate poi 
le l.ingcnti u,u^ alla conica p si disegni una parabola qualunque X tangente ad u,», e 
che abbia la slessa direzione dei diametri di p. _ 
Sia L nii punto di X, esso è il ribaltamento di un punto L, di itp imagine su itp di 
«lue pillili di una linea di curvatura X la quale si proietti su iTp perpendicolarmente al 
