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e quindi 
(7) Sen C'A = Sen BC Cos BC . 
Dunque: in ogni quadrilatero piano trirettmgolo il coseno dell'angolo acuto è 
uguale al prodotto delle Tangenti dei suoi lati; ed il Seno d'uno di questi lati è eguale 
al Seno del lato opposto pel Coseno deWaltro lato (Notiamo che CA è la disianza minima 
tra BC e C A , sebbene queste rette siano in un piano). 
4. Noteremo anche le due formole seguenti , relative ad un quadrilatero sghembo 
ABaft (fig. 4*), cogli angoli a, b retti e con l'angolo diedro Aa6B = ? (Il lato ah è 
evidentemente la distanza minima tra aA e f^B, e l'angolo diedro <p si definisce l'an- 
golo tra le slesse rette): 
(8) Sen ah. cos <p = Sen SB Cos AB — Cos bB San AB oos B , 
(9) Cos AB = Cos ah. Cos 5B Cos ah — Sen ah Sen 5B cos <p . 
La prima formola si ricava considerando primieramente un triangolo sferico ABC 
(Qg. 5"), e prolungando i lati CA e CB fino all'incontro in a e 6 <3el circolo polare di C. 
Da esso, notando che i lati CA e CB sono i complementi di ak e èB, si ha: 
sen ah = cos AB sen JB -f- sen AB cos 5B cos (180 — AB5) . 
Per un quadrilatero rettilineo piano vale la slessa formola, e quindi resta dimo- 
strata la (8) pel caso di un quadrilatero piano, cioè di 9 = 0°, Ma essendo quel qua- 
drilatero sghembo, tiriamo per lo spigolo ah (fig. 4") un piano perpendicolare a 6B, e su 
questo piano dal punto A caliamo la perpendicolare kd. Congiungendo d con h, ne 
risulla il quadrilatero piano ABa't, rettangolo in a' e 5; e quindi Sena'A è eguale al 
secondo membro della (8). Finalmente essendo Sen dk =:SenaA cos^ , la (8) resta di- 
mostrata. 
Per avere la (9) moltiplichiamo la (8) per SenfcB ed otterremo in virtù della prima 
delle (2) : 
Sen ah Sen 5B cos <p = Sen» èB Cos AB — Cos 6B (Cos AB Cos 6B — Cos hh) 
= — CosAB -f CosfiB CosAfi . (^^^ 
Ma dal triangolo rettangolo kah, si ha: Cos AZ/ = CosaA Cosafc: sostituendo si ottiene 
6. Coordinale di m punto. Un punto sarà individuato rispetto a tre assi ortogonali 
dalle Ire perpendi(?ateri 4,-'T>? calate da esso sui tre piani ortogonali determinati dagli 
iiBsi. Queste si diranno coordinale mrtesium, e si diranno coordinale iperboliche i seni 
iperbolici di esse, cioè Sen4 , Sen ri , Sen? , che saranno designate con a; , y , 3. 'i Jii»»"; 
Alle coordinate x ,z ne aggiungeremo per l'omogeneità una quarta, che desi- 
gneremo con M, l^g;ala c^n,|f^,,y.„.? dalla relazione: . > , ^ 
>XlÒ) ' '"^ y Mfr+ a)' + -f js^' */, ' * ' '^'^ -'^''^ OllijiilO 
. »fnt:iddi; !■ ir 1^ f;;r i/lob :ViO he i/iJcbi iibnf» , 
*) Le coordinate iperboliche si diranno spesso anche semplicemente coordinate^ bastando questa 
designazione a distinguerle delle altre coordin'ìtte 4 , ; ? che popterénno sempre l'appellativo di èar- 
tetiane. 
