e quindi per lo (11) e (12), ' ''^ 
(15) cosMON- 
delle a; , j/ , 3 le coordinale di M, ed , 3, quelle di N. 
Z noo fiibìg cil;d> ■' ;iuq lol» oi 
8. Distanza tra due punii M ed N. Dal triangolo OMN (Og. 9') si ha; 
CosMN = CosOM CosON — SenOM SenON cosMON , 
e quindi, dello p il segmenlo MN, 
,^ ') i j I . 
(16) Cosp = uu^ — £c.y j — yy, — , 
e ricordando che Cosp = — ^ — , si ha : 
(17) p = ^log 1/, , ~ ) 
Avremo anche: 
Sen'p = {uu^ — xx^ — y?/, — 2^,)- — 1 , 
e mellendo al posto di — 1 la quantità equivalerne 
_ _ _ _ z^) («.^ _ _ y^^ - z:-) . 
dopo qualche riduzione si trova: 
(18) Sen'p = {ux^ — xu^'^ + ("^i — ^"J^ + ("•^^i — ^Wj)^ 
— (2/^1 — -«y,)' — (^a:, — xz^f — {xy^ — yx^'' . 
Se N è infinitamente vicino ad M , cioè se p = ds, ed x^ = x + dx , y^ = y -\- dy, 
z^=^z -f- dz, avremo: 
(19) ds'^ = (udx — xduy -f (udy — ydu)- -f (itdz — zduY 
— {ydz — zdy)'^ — (zdx — xdz)- — {xdy — ydxf , 
*) Se si assumesse l'equazione (17) come definizione della distanza tra due punti {x ,y , z .u) , 
(^1 ^Vii^iì Wj) , allora la quadrica ali' infinito 
U'' _ u;- ~y^ — z^ = 0, 
rappresenterebbe l'Assoluto (Cfr. D'Ovidio, Le Funzioni metriche fondamentali negli spazi di 
quante si vogliano dimensioni e di curvatura costante. Memorie della R. Acc. dei Lincei, Serie 3", 
Voi. 1", 1877, pag. 943). 
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