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37. Riduzione di un sistema di forze ad una forza e ad una coppia. Siano F , F, 
F«,w forze applicate ad un sistema rigido, e sia 0 un punto qualunque legato al sistema. 
Siano h ,h^, ... /j„ le perpendicolari abbassate da 0 sulle direzioni di F , F, , ...F„. Tra- 
sportiamo tutte le forze in 0: ciascuna forza F sarà surrogata da una forza FCos^ e da 
una coppia (o momento) FSenA. Le forze si comporranno tra loro, e così pure le cop- 
pie: verrà una forza risultante R ed una coppia risultante (o momento risultante) S. 
58, Diremo da ora in poi piano di riduzione il piano contenente la forza e il mo- 
mento risultante relativi ad un centro di riduzione, ed asse di riduzione la normale ai 
piano, tirata dal centro stesso, diretta in modo che una persona coi piedi all'origine e 
cogli occhi all'estremità dell'asse, guardando la forza risultante, abbia a destra il mo- 
mento. 
Teorema I. L'asse di riduzione per un dato punto incontra l'asse centrale, se esso 
esiste, e l'incontra ad angolo retto. 
Se infatti esiste l'asse centrale, trasportando la forza p ed il momento a (Qg. 24), 
coincidenti con 1' asse , in un punto qualunque 0 dello spazio , la cui disianza dallo 
stesso asse sia h, si ottengono due forze pCosA , e aSen^ ad angolo retto, e due mo- 
menti ad angolo retto pSenA e aCosh. 1 quattro vettori stanno in un piano perpendico- 
lare ad /«, e quindi la risultanle R ed il momento risultante S, relaUvi ad 0, stanno su 
questo piano, il che dimostra il teorema enunciato. 
Dalla composizione delle due forze, e delle due coppie si ha inoltre: 
(105) R' = p' Cos» h-\-a* Sen» h ; S'^ = p» Sea- A + a» Cos» h , 
e designando OT la proiezione dell'asse centrale sul piano RS, avremo: 
tgROT=-Tg/t , tgSOT = -^Tg;ì, 
p a 
(106) 
donde si vede che secondoché l'angolo ROS è acuto od ottuso, p e <j hanno lo stesso 
verso 0 versi opposti, e che quando l'angolo ROS è retto il sistema si riduce ad una sola 
foraa p, 0 ad una sola coppia a. L'una o l'altra si determina geometricamente nel se- 
s s 
guente modo. Nel caso di R > S si decomponga S in due forze e — perpen- 
dicolari ad un braccio 2^ che sia ad angolo retto con R, e si decomponga R in due 
R R 
forze ed applicate negli stessi punti delle due prime, secondo le medesime 
linee. Ponendo — ^ =0, cioè TangA=4. Jue forze si distruggono e le altre 
Cosrt ben/i K 
2R I . 
due si sommano in una risultante eguale a ^— ^=2KR* — S», 
Analogamente nel caso di S > R. 
Con queste formòlo si dimostra anche che R'- S' ed RScos(RS).sono invarianti. 
