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OS ed 0?, sarà: 
CosOA Cos AC = CosOC =: M , Sen OA Cos AC = z . 
Dunque il valore comune della forza e del moraenlo risultante per un punto qua- 
lunque è: 
(108) R(«-^), 
e siccome u — 2 = cosi, è (n.° 9) l'equazione di un'orisfera avente il centro sull'asse 
0?, cosi il teorema è dimostrato. 
CONCLUSIONE 
39. Quando un sistema rigido è sollecitato da forze qualunque, tutte le forze e 
tutte le coppie, che si ottengono trasportando le forze ad un punto si riducono ad una 
forza risultante R e ad una coppia risultante S, applicate allo stesso punto, 0 centro 
di riduzione. Si formino le quantità 
R' — S-^=J , ed RScos(RS)=I; 
J ed 1 mantengono lo stesso valore per qualunque punto dello spazio. 
Se J ed I non sono entrambi nulli, esiste sempre un asse centrale, per tutti i punti 
del quale la forza risultante ed il momento risultante sono minimi e coincidono.- -'-^^ 
Una perpendicolare qualunque all'asse centrale è asse di riduzione per tutti i 
punti del corpo traversati da essa. 
Se 1=0, è anche nulla 0 la coppia minima 0 la forza minima, secondochè J^O. 
Se 1 = 0 ed 1 = 0, non vi è asse centrale: in ogni centro di riduzione la forza ri- 
sultante ed il momento risultante sono eguali tra loro, e formano un angolo retto. Gli 
assi di riduzione in tal caso sono paralleli ed il valore comune della forza risultante e 
del momento risultante conserva lo stesso valore per ogni orisfera corrispondente al 
fascio degli assi paralleli. 
È facile dimostrare che nel caso in cui J=I = 0, le forze si riducono a due, egua- 
li , parallele e di senso contrario. 
Forze perpendicolari ad un piano. 
40. Se le forze sono tutte perpendicolari ad un piano, ed hanno una risultante K, 
questa evidentemente sarà anche perpendicolare al piano. Portando tutti i punti d'ap- 
plicazione sul piano stesso, che supporremo sia il piano delle i-n, e dicendo Z la forza 
applicata al punto x ,y, ed R la risultante applicata al punto x^y^, avremo; 
1 
(109) «„R=2mZ , a^.R^^.-^Z , j/,R=22/Z, 
che si deducono immediatamente dalle (69) poiicndovi z=0. Queste relazioni si pos- 
sono anche stabilire geometricamente, eguagliando il comomento della risultante alla 
somma dei comomenli delle singole forze ed i momenti della risultante alle somme 
analoghe dei momenti delle forze stesse.- 
