plicissima, che tale rapporto soddisfa ad una equazione di quinto grado 16 ). In 
tal caso il problema si risolve in modo completo, ognuno dei due corpi B e 
C descrivendo periodicamente delle coniche col fuoco in A. Spetta quindi ad 
Euler il merito di aver scoperto la prima e la più semplice delle soluzioni 
periodiche del nostro problema. Tornando poscia al caso dei corpi comunque 
posti in linea retta, egli riesce a trovare una combinazione delle equazioni dif- 
ferenziali che è integrabile (integrale corrispondente a quello delle forze vive); 
ma non va pi Ci oltre: « au mpins, egli avverte, toutes les peines que je me suis 
données pour décoùvrir encore une autre combinaison, qui conduisit à une équation 
intégrable, onl été inutiles ». Egli può, eliminando il tempo, ridurre il problema 
alla integrazione di una equazione differenziale di secondo ordine; ma questa 
si presenta sotto forma cosi complicata da lasciar adito a poche speranze di 
integrarla, anche nel caso particolare in cui La costante delle forze vive è nulla. 
Finalmente in una seconda parte egli esamina le equazioni differenziali car- 
tesiane pel problema dei quattro corpi di cui trova i sette integrali primi, os- 
servando la loro validità per ogni legge di attrazione funzione della sola di- 
stanza 17 ). 
Indicando con A , B , C le masse dei tre corpi, tale equazione è 
(A + B)» 8 + (3A + 2B)z i + (8A + B)z 3 - (B -f- 3C)z 3 — (2B + 3C)a — (B -f C) = 0 , 
ed ha una sola radice reale positiva compresa tra 0 ed 1 se A > C, Ritrovata poscia da LagrangK 
e da Laplace, è spesso indicata col nome di uno di questi matematici. La maniera con cui è 
dedotta da Eller supera in semplicità tutte quelle escogitate in seguito. 
Il sig. K. Bohlin, l'illustre direttore dell'Osservatorio di Stockholni, ha tatto recentemente 
uno studio profondo di questa equazione che ha ridotto alla t'orma normale 
5 1 
ri 1 + -, fi = - -.27 ; 
e si è occupato dello sviluppo di tq in funzione uniforme di u. La risolvente dell'equazione è 
27w 
e posto = egli dimostra essere t) razionale in p l p i l> 3 , riuscendo, alquanto faticosamente, a 
costruire quattro sviluppi: tre rappresentano lo sviluppo della radice in tre distinte regioni; il 
quarto in un punto isolato. Sur une équation alyébrique remarquable se trouvant en rapport à la 
mécanique celeste [Astronomiska Jakttagelser och Undersokningar a. Stockolms Observatorium. Bd. 
8; n.° 8, pag. 111 (1907)]. 
*") Ci piace riportare le parole con cui Eulbr termina la bella ed elegante memoria: 
« La méthode dont je me suis servi ici, en cherchant certaines combinaisons entre les équa- 
« tions principale» détaillées dans le § 85, <| ui conduisent à quelque équation intégrable, semble 
« entièrement épuisóe, et il t'andrà sans doute chercher une route tout à fait nouvelle. Dans l'état 
« où l'Analyse se trouve, il semble méme impossible de dire si l' on en est encore fort éloigné 
« ou non; mais il est bien certain que, dès que l'on sera arrivé à ce point, l'Analyse en retirera 
«de beaucoup plus grands avantages, que l'Astronomie en saurait s' en promettre, à cause de la 
« grande compilation dont tous les élémens seront entrelacés selon toute apparence, de sorte que 
« pour la pratique on ne pourra presque en espérer aucun secours ». 
