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dei tre corpi esige due nuove quadrature e una ultima ne occorre per fissare 
la posizione del triangolo sul piano. Per quanto poi riguarda il sistema di equa- 
zioni differenziali già accennato, Laghangk, dalle solite equazioni cartesiane del 
moto, deduce tre equazioni differenziali di secondo ordine contenenti i quadrati 
delle distanze e le velocità dei tre corpi; e poi una equazione (a) contenente 
la derivata prima di una funzione p delle distanze e delle loro derivate prime 
e seconde. Una relazione trigonometrica tra i coseni degli angoli formati da 
quattro rette, si trasforma subito in una equazione ((3) di quarto grado in p; 
finalmente la eliminazione di p e dei quadrati delle velocità conduce al sistema 
definitivo di equazioni fra le sole distanze, che però Lagrange non dà in forma 
esplicita. Il sistema differenziale è del settimo ordine e non contiene esplici- 
tamente il tempo; quindi si sarebbe potuto subito concludere che la difficoltà 
del problema consiste nella integrazione di un sistema di sesto ordine. In ogni 
modo, poiché coi soli dieci integrali conosciuti sarebbero occorse ancora otto 
integrazioni per la completa soluzione del problema, il passo notevole com- 
piuto da Lagrange consiste nell'aver eseguito una nuova integrazione. Questo 
risultato, che riguarda la massima riduzione del sistema di equazioni differen- 
ziali del nostro problema, non sarà superato dai successori, ai quali spetterà 
soltanto il merito di affinare il metodo di ricerca per giungere rapidamente 
ed esplicitamente alla riduzione detta. In questa memoria è anche notevole una 
equazione (L) che esprime mediante la funzione delle forze la derivata seconda, 
rispetto al tempo, della somma dei quadrati delle distanze dei tre corpi cia- 
scuna divisa per una delle masse; tale equazione, estesa da Jacobi al pro- 
blema degli n corpi !0 ) e spesso quindi chiamata equazione di Jacobi 21 ), ha 
acquistato una nuova e maggiore importanza nelle recenti ricerche del signor 
SlJNDMAN **). 
In una seconda parte, Laghangk si propone di trovare i casi in cui le di- 
stanze dei tre corpi, oppure i loro rapporti si mantengono costanti per tutta 
la durata del moto; ed egli ritrova il caso di Euler dei tre corpi in linea retta 
ed un caso nuovo, in cui i tre corpi sono sempre vertici di un triangolo equi- 
latero; anche in tal caso il problema è riducibile alle quadrature e i vertici 
descrivono periodicamente delle sezioni coniche aventi il fuoco nel centro di 
massa dei tre corpi. Sicché Laghangk ha trovato, dopo quella di Euler, un'altra 
soluzione periodica del nostro problema. 
1 lavori recenti di Hill, Darwin, Charlier, la scoperta del così detto gruppo 
troiano di quattro asteroidi, hanno dimostrato, dopo più di un secolo, che questa 
soluzione non è, come credeva Lagrange, une pure curiosile *'). 
La memoria di Lagrange è stata oggetto di numerosi e recenti lavori che 
hanno semplificato alcuni particolari, o ne hanno mostrato il nesso con altre 
iu ) Vorlesun(jen iiber Dynamik, IV Vorl. formula (4). Gesamra. YVerke. Supplementarband. 
"j E. T. Whittakbk, A '/'reatine on the Analytical Dynamics of Partiate» and Rigid liodies; 
with an Introduation to the Problem of 'livree Bodies. Cambrì. Ige, 1904; § 156. 
") Vedasi nota m ). 
4, j Vedasi nota t00 j, e il Gap, VI. 
