vamente stabilito da Jacobi — e nello averlo stabilito consiste un progresso sulla 
memoria di Lagrange — è di sesto ordine - 7 ). 
Bertrand (1822-1900) si è valso egualmente dei due corpi fittizi e della 
trasformazione di Jacobi ") ma in modo alquanto più semplice, riducendo il 
problema a quello in cui uno dei tre corpi è fìsso. Tutto viene a dipendere 
dalla integrazione di una equazione alle derivate parziali lineari con nove 
variabili indipendenti e quindi da quella di un sistema di otto equazioni si- 
multanee ordinarie di primo ordine; di un tal sistema si conoscono due in- 
tegrali, quindi la sua integrazione potrà ridursi a quella di un sistema di sei 
equazioni di primo ordine. 11 procedimento inoltre vale qualunque sia la legge 
di attrazione, funzione della distanza. 
La riduzione a sistemi hamiltoniani è dovuta a Boi a (1832-1866), almeno 
pel problema a cui Bertrand aveva ridotto quello dei tre corpi; ed egli con 
calcoli faticosi e poco eleganti giunge ad un sistema di ottavo ordine nelle otto 
variabili due a due coniugate, in cui sussiste sempre l'integrale dell'energia; 
e quindi, mediante l'eliminazione del tempo, può ridursi al sesto ''"). 
L'analisi di Bora è stata semplificata da Brioschi (1822-1897) 3U ), da Siacci 
il ) Ciò invero non è esplicitamente detto da Jacobi in questa memoria; ma il suo pensiero 
apparisce chiaro da quanto egli ha esposto in una nota delle Astr. Nachrieh., Bd. 21, pp. 99 
(1842), in seguito ad una osservazione del Clausen comparsa nel volume 20, pp. 97 dello stesso 
periodico. Tale nota deve essere certamente sfuggita al Bertrand, il quale, pur essendo perve- 
nuto, dieci anni dopo, al una riduzione analoga, affermava aver effettuato una integrazione di 
più di Jacobi. Vedasi l'introduzione alla memoria della nota 28 ). 
La eliminazione del dt si può ottenere facilmente e con molteplici artifici, come hanno 
mostrato Weiler e Radau e prima ancora Cayley nella pag. 550 del lavoro citato alla 
nota 2 ). 
"Una deduzione semplice del sistema di Jacobi è dovuta al sig. A. Bilimowitch, Die Bewegungs 
gleichungen konservativer Sgsteme mit linearen Bewegungsintegralen [Mathem. Annalen, Bd. 69, pp. 
586-591 (1910); Univ. Izviestia Kijew, v. 50, n. lOc, pp. 23-43 (1910)]. 
i8 ) Mémoire sur l'integration des équations dijférentielles de la Mécanique [Journal de Mathéma- 
tiques, t. 19, pp. 88-111 (1854)]. 
Altri lavori che si collegano con questa memoria sono quelli di L. Painvin, Recherche du 
dernier multiplicateur pour deux formes spéciales et remarquables des équations dijférentielles da problème 
des trois corps [Journ. de Mathém. , t. 19, pp. 88-111 (1854)], in cui si ricerca appunto l'ultimo 
moltiplicatore dei sistemi (non canonici) di Jacobi e di Bertrand; di D. Grave, Sur le problème 
des trois corps [Nouvelles Annales de Mathém., s. 3, v. 15, pp. 637-547 (1896)] in cui è provato 
che i soli integrali delle equazioni di Bertrand indipendenti dalla legge di attrazione sono i dieci 
noti. La generalizzazione al caso degli n corpi e lo studio di un gruppo di trasformazioni con- 
tinue definito dalle equazioni di Grave è dovuto ài sig. E. O Lovett, On a Group of Transfor- 
mations wich occurs in the Problem of Several Bodies [American Journal of Mathematics, v. 30, 
pp. 307-324 (1908)]. 
S9 ) Mémoire sur le problème des trois corps [Journal de 1' Ecole Poly technique, t. 21, pp. 35-58 
(1856)]. 
so ) Sur une transformation des équations diférentielles du problème des trois corps [ Compt. ren- 
dus, t. 66, pp. 710-714 (1868; ; Opere matematiche, t. 4, pp. 361-365]. 
