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(1839-1907) ") ed ha anche formato oggetto di lavori di Mathieu (1835-1907) Sì ). 
La riduzione diretta a sistema canonico di ottavo ordine, con una speciale 
scelta di variabili, fu pure ottenuta dallo Scheibner nel 1865 e nel 1868 M ). 
Ma i lavori più importanti di questo periodo sono indubbiamente quelli 
di Radau (1835-1911) 3i ). 
Egli si occupa in generale del problema di n -f- 1 corpi riferiti al loro 
comune centro di massa supposto t'isso (poiché la forma degli integrali del- 
l'energia e delle aree è la stessa). Se si pone l'origine in uno dei corpi; oppure 
se si utilizzano gli integrali del centro di massa, si possono ridurre a 3n le 
3/j -j- 3 equazioni differenziali del problema; ma in entrambi i casi si sagrifìca 
e la forma semplice degli integrali e quella delle equazioni differenziali. Jacobi 
e poi Bertrand, con l'artifizio dei due corpi fittizi hanno eliminato questa dif- 
ficaltà; orbene Radau ha fatto vedere che la trasformazione di Jacobi è caso 
particolare di una trasformazione ortogonale tra le coordinate assolute degli 
n 1 corpi e quelle di /■/ — j — 1 masse fittizie, di cui una è la massa totale del 
sistema situata nel centro di massa : i coefficienti di questa trasformazione 
non sono interamente determinati. Due casi particolari sono notevoli fra tutti: 
il primo è la generalizzazione della trasformazione di Jacobi e consiste nel 
riferire il secondo corpo al primo; il terzo al centro di gravità dei primi due; 
il quarto al centro di gravità dei primi tre; ecc., modificando conveniente- 
mente le masse; la forma tipica degli integrali delle aree e di quello dell' ener- 
31 ) Sur le problème des trois corps [Ibid., t. 78. pp. 110-113 (1874)]; Intorno ad alcune tra- 
sformazioni delle equazioni dijjerenziali del problema dei tre corpi [Atti R. Accademia delle Scienze 
di Torino, v. 6, pp. 440-454 (1870-71)]. Il Siacci ha dimostrato anche l'esistenza di infinite tra- 
sformazioni più generali di quelle di Jacobi, Bertrand, Brioschi. La prima nota del Siacci fu 
quasi alla lettera riprodotta venti anni dopo dal sig. Vernier negli stessi Compt. rendus, t. 119, 
pp. 451-454 (1894). Vedi anche p. 1189. 
32 ) Me moire sur le problème des trois corps [Journal de Mathém., s. 3, t. 2, pp. 345-370 (1 876) J. 
Il Mathieu ha rettificato alcuni risultati di Bour e poscia riferendosi ancora al problema di 
Bertrand, assume come variabili le distanze r,r i dei due corpi m,m l dall'origine O (fissa), gli 
angoli 4) 4i che esse fanno con la retta intersezione del piano 0»iw, col piano invariabile; e per 
mezzo della espressione dell'energia cinetica data da Bour, definisce le variabili coniugate delle 
precedenti e ottiene il sistema canonico di ottavo ordine. Fissata, con la integrazione di esso, la 
posizione dei due corpi sul piano Omm, , la posizione del piano è determinata con una quadra- 
tura. Mathieu ha fatto applicazione dei suo metodo alla determinazione delle perturbazioni di 
Giove e di Saturno [Journal de l' École Polytechnique, t. 28, pp. 245-263 (1878)]. 
33 ) ìSatz aus der Stórungatheorie [Journal tur r. und ang. Mathematik, Bd. 65, pp. 291-292 
(1865;]; Ueber das Problem der drei Kórper [Ibid., Bd. 68, pp. 390-392 (1868)]. Nella prima me- 
moria è trattato il caso del problema chiamato ora comunemente ristretto od asteroidico, col 
metodo seguito anche da Poincaré: Les Méthódes nouvelles de la Mécanique celeste, t. 1, p. 11 (1892); 
nella seconda è trattato il caso generale; ma sono dati i soli risultati, che furono poi dimostrati 
da Kadau; vedi nota 30 ). 
Sur une transformation des équations différentielles de la Mécanique [Annàles scientifiques de 
l' Ecole Normale Supérieure, t. 6, pp. 311-375 (1868;]. I risultati erano stati in precedenza co- 
municati all'Acc. delle Scienze: Compt. rendus, t. 66, pp. 1262-1265 (1868;; t. 67, pp. 171-176; 
316-319; 841-843 (1868). 
