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riduzione al sesto ordine è la massima che, cogli integrali noti, possa essere 
raggiunta * 5 ). 
Anche il Bruns, nella prima parte di una memoria che dovremo più oltre 
esaminare 46 ), si è occupato nel 1 887, e in forma completamente diversa dalle 
precedenti, della riduzione al 6° ordine. Egli assume per variabili le tre di- 
stanze dei corpi e certe combinazioni (alcune delle quali immaginarie) delle 
coordinate cartesiane dei tre corpi. Il sistema canonico di 18° ordine, a causa 
della forma speciale che assume l'espressione dell'energia totale, si spezza in 
due altri; uno di sesto e l'altro di 12' ordine e questo, scegliendo per piano 
invariabile il piano xy , si riduce facilmente ad un sistema canonico di ottavo 
ordine. Ma qui il Bruns fa una semplice ed importante osservazione. La fun- 
zione caratteristica che figura in questo sistema contiene linearmente una delle 
variabili; risoluta rispetto a questa, ci dà, p. e., p — — K. Allora assumendo 
per nuova variabile indipendente, in luogo del tempo, la coniugata di p , il 
sistema canonico viene ridotto ad uno di sesto ordine, in cui K è la funzione 
caratteristica e da cui è eliminato il tempo. Di guisa che la riduzione a sistema 
di sesto ordine trovasi fatta, nella memoria del Bruns, nella forma più espli- 
cita e definitiva * 7 ). 
Citiamo finalmente i lavori di Poincaré e di Whittàker. Il Poincaré nel 
1896 iS ) ha dato un metodo, diverso da quelli di Jacobi e di Radau, per otte- 
nere una prima riduzione del sistema canonico dal 18° al 12° ordine, valen- 
dosi degli integrali del centro di massa. La trasformazione (a) da lui adoperata 
(trasformazione di contatto che non altera quindi la forma canonica delle equa- 
zioni del moto), non altera nemmeno la forma degli integrali delle aree, e 
consiste nel prendere per variabili x- le coordinate di due dei corpi A e B 
rispetto al terzo C e le coordinate di C; e per variabili coniugate //,' le com- 
ponenti delle quantità di moto assolute di A, di H e di tutto il sistema. Nel 
sistema trasformato le y'. , //„ , y\ sono variabili ignorate e quindi forniscono 
subito i tre integrali del centro di massa: se questo viene fissato, spariscono 
dall'espressione della energia totale queste y' e ci riduciamo ad un sistema di 
12° ordine, mentre la forma degli integrali delle aree è rimasta inalterata. 
* 5 J Per la effettiva riduzione al sistema canonico di ottavo ordine si veda Poincaré, Les 
Méthodes nouvelles , t. 1, pag. 38. 
* 6 ) Ueber die Integrale des Vielkorper- Problema [Berich. der K. Sachsischen Ges. der Wiss. , 1887. 
Mathem. Class, pp. 1-39, 55-82; Acta Mathematica, t. Il, pp. 25-96 (1887)]. 
L' illustre Prof. Ernest Heinrich Bruns (n. 1848) è professore di Astronomia e Direttore 
dell'Osservatorio di Lipsia dal 1882. 
* 7 ) Un tal metodo è evidentemente generalo e serve a ridurre l'ordine di un sistema cano- 
nico con n gradi di libertà in cui esista l'integrale dell'energia, trasformandolo in un sistema 
canonico con n — 1 gradi di libertà; vedi "Whittàker, Treatise on the Anulytical Dynamics, § 141. 
4H ) Sur une forme nouvelle de» équations du problème des trois corps f Comp. rendus, t. 123, pp. 
1031-1035 (1896); Acta Mathematica, t. 21, pp. 83-97 (1897) ]. Poincaré osserva che, per rispetto 
ai termini di primo ordine nello sviluppo della funzione perturbatrice, la sua sostituzione («) e 
quella di Jacobi-Radau si equivalgono ; invece per i termini di secondo ordine la (a) è più 
semplice. 
