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bilità, se il rapporto tra il quadrato della somma delle masse alla somma dei 
prodotti delle masse due a due è maggiore di 27; e poi, con maggior gene- 
ralità, dal Routh 61 ). Questi suppose i lati invariabili, oppure variabili assai 
poco, e La legge di attrazione proporzionale alla potenza — k della distanza : 
e dimostrò che il moto non può essere stabile finché A - < 3 : è stabile se k è 
negativo, oppure positivo ma minore di 1 : e finalmente, limitandosi alla prima 
approssimazione, generalizzò la condizione del Gascheau. 
Ricerche anche più generali sono dovute al Liapunoff, il quale è partito 
dalla ipotesi che i lati varino periodicamente col tempo e sia qualunque la 
legge di attrazione. Limitandosi alla prima approssimazione, la questione è 
ricondotta alla integrazione di una equazione differenziale lineare di quarto 
ordine a coefficienti periodici (determinati mediante sviluppi in serie); vi ha 
stabilità se l'equazione caratteristica ha radici il cui modulo è l'unità. Nel caso 
dell'attrazione newtoniana vi ha stabilità se una delle masse è sufficientemente 
grande rispetto alle altre due " s ). 
Altri autori hanno generalizzato i casi di Euler e Lagrange. 
W. Weltmann ha considerato il moto di più corpi sopra coniche aventi lo 
stesso fuoco, i corpi attraendosi secondo la legge di Newton. Dati gli assi delle 
coniche, le masse restano determinate da un sistema di equazioni lineari-, il 
cui determinante è diverso o eguale a zero, secondo che il numero dei corpi 
è pari o dispari; ma in quest'ultimo caso l'A. ha erroneamente indotta la im- 
possibilità del moto (basta riflettere al caso possibilissimo di n = 3) M ). Poco 
dopo Th. Sloudsky 7u ) e R. Hoppe T1 ) mostrarono la possibilità di risolvere il 
problema nella ipotesi che le masse dei corpi siano eguali e situate ai vertici 
di un poligono o di un poliedro regolare. Considerazioni più generali si de- 
vono ad R. Lehmann-Filhès , il quale ha dimostrato che qualunque sieno le 
masse, quattro corpi possono muoversi in guisa da restare ai vertici di un 
tetraedro regolare; e che n corpi possono restare allineati mantenendo inva- 
riati i rapporti tra le distanze. L'equazione di condizione, generalizzazione di 
quella di Euler, ha sempre radici reali 7? ). 
0. Dziorek ha studiato dei casi di configurazioni piane di quattro corpi, 
quando restano inalterati i rapporti delle distanze; i quattro corpi debbono 
essere ai vertici di un quadrilatero concavo; oppure il quarto deve trovarsi 
67 ) On Laplace' s Three l'articles, with a Supplement on the Stabiliti/ of Steadi/ Motion [Procee- 
dings London Mathem. Society, v. 6, pp. 86-97 (1895)]. 
68 j Sulla stabilità del moto in un caso speciale del problema dei tre corpi [ Materaat. Obsciestvo 
Soobscenija; s. 2, v. 2, pp. 1-14 (1889), KharkowJ. 
89 ) Uewegung in Kegelscltnitten von mehr als zwei Korper welche sioh nach dem Newton' sche Gesetz 
anziehen [Astr. Nach., v. 86, pp. 17-30 (1875)]. 
70 ) Sul problema di parecchi corpi [ Matemat. Sbornik, Moskvva, IX (1878)]. Note sur queh/ues 
cas parliculiers du problème de plusieurs corps [Bull, de la Société Imperiale des Naturaliste9 de 
Moscou; Nouvelle sèrie, t, 7, pp. 4 37-440 (1892)]. 
7U ) Krweiterung dar bekannten Speciallàmng de* Dreik<irperproblems [Archiv der Mathematik und 
Physik, Bi. 64, pp. 218-223 (1879)]. 
Vl ) Ueber zwei Fdlle de» VieUciirperproblems [Astr. Nach., v. 127, pp. 137-144 (1891)]. 
