CAPITOLO IV. 
Integrali algebrici ed uniformi del problema degli n corpi. 
Dopo che Clairaut ed Euleb ebbero trovati i primi dieci integrali del pro- 
blema degli n corpi ; e che i tentativi di Euler per assegnare altri integrali riu- 
scirono vani, anche pel problema infinitamente più semplice dei corpi in linea 
retta; non mancò qualche altro tentativo, purtroppo fallace, di aumentare il 
numero degli integrali '*). È ben noto che i sei integrali del centro di massa 
sono lineari nelle coordinate e nelle componenti delle velocità (tre di questi 
contengono anche linearmente il tempo); i tre delle aree sono bilineari nelle 
coordinate e velocità, e finalmente L'integrale della conservazione dell'energia 
è quadratico nelle componenti delle velocità ed algebrico nelle coordinate 8l ). 
Era naturale domandarsi se esistessero altri integrali algebrici, oltre questi dieci, 
precisando meglio quanto si era domandato Lambert bs ); ed un secolo di ricer- 
che infruttuose rendevano più che giustificato il sospetto che alla domanda fosse 
da dare risposta negativa. 
E dovuta al Brins, nel 1887, la dimostrazione di questo fatto importante, 
che nel problema degli n corpi, i soli integrali che siano algebrici nelle coor- 
dinate e nelle velocità (contenenti o no esplicitamente il tempo) sono funzioni 
dei dieci integrali noti 8C ). Più precisamente : 
1. ° nel problema degli n corpi il ciclo degli integrali algebrici nelle coor- 
dinate e nelle velocità e indipendenti dal tempo, è completo coi sette integrali 
primi noti; 
2. ° il ciclo di quelli dipendenti dal tempo è completo coi dieci inte- 
grali noti ; 
3. ° nel sistema ridotto di sesto ordine nel problema dei tre corpi, non 
è ulteriormente possibile una separazione di variabili (analoga a quella che 
avviene nella eliminazione dei nodi) con trasformazioni algebriche di contatto; 
. 8S ) Vedi note "), 15 ), '-). 
8 *) Il Sig. Kurt Leavk.S, The Ten Integrala of the Problem of » Dodies for Forces Involvimj 
the Co-ordinales and Their First and Second Differentiah [The Astr. Journal, v. 19, pp. 97-104 
(1898)] ha considerato anche il caso che il potenziale delle forze dipenda dalle componenti della 
velocità, ricercandone la t'orma compatibile colla esistenza dei soliti dieci integrali. 
") Vedi nota 18 ). 
M ) Vedi nota * 6 ). 
