4.° nel sistema ridotto dei tre corpi, come pure in quello degli n corpi, 
non sussistono integrali che siano integrali di differenziali totali 8T ). 
Circa dieci anni dopo il Painlevé estendeva il risultato del Bruns, dimo- 
strando che il problema dei tre e degli n corpi (anche se mohili in un piano 
o in linea retta) non ammette, all' infuori degli integrali noti, nessun altro 
integrale algebrico rispetto alle velocità 88 ). L'assenza di tali integrali nel pro- 
blema di Euleb dei tre corpi in linea retta, oltre quello assegnato da Euler, 
era del pari considerata dai sig. J. Perchot e W. Ebekt '*). 
A risultati ben più generali, in un certo senso, ma relativi però a quel 
caso particolare del problema dei tre corpi, che dovremo diffusamente trattare 
in seguito, conosciuto col nome di prohlema ristretto, era pervenuto il Poin- 
caré quasi contemporaneamente al Bruns. Nella grande memoria premiata a 
Stockholm. Poincaré ha infatti dimostrato che, all' infuori dei noti, non esiste 
alcun integrale analitico uniforme rispetto alle variabili kepleriane °"): poscia 
nelle Méthodes nouvelles ha esteso lo stesso teorema al caso generale dei tre 
corpi, ma nella ipotesi che le masse siano sufficientemente piccole 31 ). E que- 
st'ultimo teorema fu ancora generalizzato dal Painlevé che provò, nelle stesse 
ipotesi, la non esistenza, all' infuori dei noti, di altri integrali analitici uniformi, 
nel campo reale, per rispetto alle velocità 0i ). 
Questi risultati negativi, così notevoli, se non escludono affatto la possi- 
bilità di una soluzione diretta in termini finiti del prohlema dei tre corpi, la 
rendono infinitamente poco prohahile. 
*') Non è agevole esporre in brevi parole la bella ed acuta analisi del Bruns, divenuta 
oramai classica. Una ottima e sufficientemente compendiosa esposizione si trova in Whittaker, 
A Treatise on Analytical Dynamics, Ch. XIV. Il lavoro del Bruns ha avuto, com'è noto, grande in- 
fluenza anche su altri campi della Meccanica analitica; p. e., nel problema del giroscopio. 
A proposito di questa memoria Poincaré, Sur la méthode de Bruti* [Comp. rendus, t. 123, 
pp. 1224-1228 (1896)] ha osservato che una conclusione non è esatta; esistono cioè certi poli- 
nomi eccezionali, che egli costruisce, i quali rendono fallace una affermazione del Bruns. Fortu- 
natamente però per il problema dei tre corpi tali polinomi sono immaginari e non restano quindi 
infirmate le conclusioni del Bruns. 
Recentemente è tornato sull'argomento il sig. \V. D. Macmillan: On Poincaré' * Correction to 
Bruns' theorem [Bulletin of the American Mathem. Society, v. 15, pp. 349-355 (1913)]. 
88 ) Sur Iti intégrale* première* de la Dynamique et sur le problèmi des n corps [Comp. rendus, 
t. 124, pp. 173-176 (1S97)]: Mémoire sur le* intégrales première* du probi è me des n corps [ Bull. Astr., 
t. 15, pp. 81-113 (1898)]. 
) Sur certame* intégrale* première* de* équations de la dynamique à deus, variable* ; application 
à un ca* particulier du problème des troi* corpi [Comp. rendus, t. 126, pp. 725-728 (1898)]. 
) Sur le problème de* troi» corps et le* équalions de la Dynamique. Mémoire couronné du prix 
de S. M. le Roi Oscar II le 21 jauvier 1889 [Acta mathematica, t. 13, pp. 1-278 (1890) j. 
Se si cambiano variabili, il risultato del Poincaré potrebbe non sussister più, come vedremo 
risultare da una memoria del Prof. Lkvi-Civita, di cui dovremo parlare in seguito. Vedi nota t5B ). 
•*) Les Méthode* nouvelles, t. 1, pp. 250-254 (1892). 
M ) Sur les intégrales uniforme* du problème de* n corp* [Comp. rendus, t. 130, pp. 1699-1701 
(1900)]. 
