CAPITOLO V. 
Soluzioni approssimate per serie infinite; per serie trigonometriche. 
Ricerche di Sundman. 
I primi tentativi di risolvere il problema dei tre corpi mediante sviluppi 
in serie, si possono far risalire, come abbiamo già visto, a Glairaut, d'Alem- 
bert, Eller e Lambert. Con Laplace e Lagrange il metodo degli sviluppi in 
serie acquista maggior rigore e maggior importanza e si fonda la teoria delle 
perturbazioni. 
II concetto che domina questa teoria si può riassumere in poche parole. 
Il moto di uno dei corpi rispetto ad un altro, supposto non esista il 3°, è un 
moto kepleriano ; la presenza di un terzo, di un quarto corpo perturba questo 
movimento. L'ellisse kepleriana non risulta più fissa; ma i suoi elementi, ec- 
centricità, grande asse, inclinazione, variano continuamente. Si stabilirono le 
equazioni differenziali cui soddisfano le variazioni degli elementi ellittici (ine- 
guaglianze) e se ne tentò la integrazione approssimata. 
La integrazione per serie mostrò subito (fin dai primi lavori di d'Alembert) 
La esistenza di termini contenenti il tempo sotto forma trigonometrica (termini 
periodici) e termini contenenti il tempo a fattore (termini secolari). La com- 
parsa di questi termini, data la periodicità dei moti celesti, è dovuta al me- 
todo seguito nella integrazione; e sarebbero certamente mancati se si avesse 
avuto un metodo per risolvere in modo rigoroso il problema. Si cercò quindi 
di eliminarli e di sostituire ad essi nuovamente termini periodici. 
Senza voler entrare in molti particolari, estranei del resto alla vera que- 
stione che ci occupa, vogliamo soltanto accennare che Laplace nel 1773 mostrò 
che la distanza media di un pianeta dal sole (semiasse maggiore dell'orbita) 
non ha ineguaglianze secolari, se si trascurano negli sviluppi in serie i ter- 
mini colle potenze delle masse superiori alla prima e i termini di terzo ordine 
nelle eccentricità ed inclinazioni; e Lagrange (177(i) provava la verità dello 
stesso risultato tenendo anche conto di tutte le potenze delle eccentricità e 
inclinazioni. Poisson quindi, in una memoria del 1808, estendeva ancora il 
risultato considerando i quadrati delle masse; ma pel caso dei cubi la sua 
analisi del 1816 non è corretta '"). 
•*) Oltre l'opera già citata del G-AUTIKR, nota *), si veda anche la Mtcanique celèste di LA- 
PLACE!, t. 5, pp. 361-357. 
Metodi generali per ottenere lo sviluppo in serie del raggio vettore, della longitudine e la- 
