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Ricerche generali sui sistemi canonici con r gradi di libertà e sulle condi- 
zioni perchè nello sviluppo della funzione perturbatrice manchino termini dei 
primi tre ordini sono dovute ad Andoyer Lo Charlier poi ha dato una di- 
mostrazione molto semplice della validità degli sviluppi in serie ordinate se- 
condo le potenze delle masse perturbatrici; sviluppi che però non posseggono 
la convergenza uniforme, essendo il raggio di convergenza per le masse, in 
generale, funzione del tempo durante il quale la soluzione stessa è valida 104 ). 
I lavori di Delaunay, poi quelli di Hill che aprono un nuovo orizzonte 
per lo studio del nostro problema, riguardano più particolarmente il problema 
ristretto e li esamineremo diffusamente nel prossimo capitolo. 
Tornando invece all' indirizzo dei fondatori della meccanica celeste; diciamo 
brevemente delle soluzioni per serie trigonometriche, almeno nelle ipotesi che 
più interessano le applicazioni al sistema del mondo. 
Nel 1874 il Newcomb (1835-1909) *?») ha riconosciuto che, sotto certe con- 
dizioni, si possono esprimere formalmente le coordinate dei tre corpi con fun- 
zioni trigonometriche di più argomenti, a loro volta funzioni lineari del tempo. 
Egli ha anzi considerato in generale un problema di n -f- 1 corpi di cui uno 
è fisso e gli altri si muovono con moto quasi uniforme su orbite poco diverse 
dalle circolari; valendosi della trasformazione di Jacobi-Radau ed assumendo 
per le coordinate relative degli n pianeti delle serie trigonometriche della natura 
detta, mostra col metodo delle successive approssimazioni e della variazione 
delle costanti arbitrarie, la possibilità di determinare i coefficienti delle funzioni 
seno e coseno e quelli delle funzioni lineari che figurano negli argomenti. 
In altre parole egli dimostra che quando si ha una soluzione approssimata 
di quella forma trigonometrica, se si procede ad una ulteriore approssima- 
l01 ) Sur l'extension que l'on peut donner au théorème de Poisson, relalif à V invariabilitè des grand* 
axes [Comp. rendita, t. 123, pp. 790-793 (1896)]. 
101 ) Sur la convergence des développements suivant les puissances des masses des planètes [Bull. 
Astr. t. 19, pp. 380-385 (1902)]; Die Mechanik des Himmels, Bd. 2, p. 298. Leipzig 1907. Tuttavia 
lo stesso Autore (1. e, p. 303) ritiene probabile che la convergenza sia uniforme. 
Per più ampi e ricchi particolari bibliografici vedasi: H. Burkhardt, Entwicklungen nach 
oscillirenden Functionen und Integration der Differentialgleichungen der mathematischen Physik , § 22, 23 
[ Jahresbericht der Deuts. Mathem.-Vereinigung, Bd. X, 1908]. 
103 ) On the General Integrate of Planetary Mntion [Smithsonian Contributions to Knowledge; 
v. 21, pagine 31, (1874)]. Sono pure notevoli i lavori seguenti: Théorie des perturbations de la 
lune qui soni dues à l'action des Planètes [Journ. de Mathém., s. 2, v. 16, pp. 321-368 (1871)]; 
Note sur un théorème de mécanique celèste [Comp. rendus, t. 76, pp. 1750-1753 (1872)]. In questa 
nota, ammesso che le coordinate possano esprimersi mediante serie trigonometriche, mostrò che 
le costanti che moltiplicano il tempo sono le derivate del viriale rispetto alle costanti canoniche. 
Queste proprietà furono generalizzate dal Siacci, Sur un théorème de mécanique céleste [Comp. ren- 
dus, t. 75, pp. 1750-1753 (1872)], senza fare alcuna ipotesi sulla espressione di dette coordinate 
mediante serie trigonometriche. 
Che poi il numero degli argomenti indipendenti da figurare in queste serie, sia 3(n — 1), pel 
problema degli n corpi, è stato provato da P. HAUZHR: Ueber die Argumente des Problems der n 
KSrper [Astr. Nach., t. 120, pp. 193-218 (1889 ]. Il metodo del Nkwcomh è, naturalmente, di 
carattere t'ormale. 
