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sione sviluppata secondo Le potenze dell'errore della prima, ogni successiva 
approssimazione può essere espressa in quella forma trigonometrica. 
L'argomento fu nuovamente considerato dal Prof. Anders Lindstedt ,<u ) nel 
1882. Egli si occupò anzitutto della integrazione della celebre equazione 
d i x 
già incontrata da d'Alembert, Lagrange, Hill e (ìyldén; <p è sviluppata in una 
serie secondo le potenze ascendenti di x con coefficienti funzioni periodiche 
del tempo; e ancora dei sistemi 
^ L== S+* w,p fc u ''(a?,.*,,---»») ; (è — 1,2.,...») 
I, 
essendo le P funzioni intere degli argomenti e <1> serie trigonometriche di un 
certo numero di argomenti proporzionali al tempo. Il metodo adottato è quello 
delle successive approssimazioni e fu perfezionato da Poincaré '"'). Successi- 
vamente il Lindstedt fece applicazione dei risultati conseguiti in questi la- 
vori al problema dei tre corpi, sempre pero con speciale riguardo alle parti- 
colari condizioni presentate dai pianeti e dai loro satelliti. Il punto di partenza 
è il sistema di equazioni stabiliti' da Lagrange, ridotto a quattro equazioni 
differenziali di secondo ordine; e queste vengono appunto integrate per serie 
trigonometriche, giungendo quindi alla determinazione, puramente formale, 
delle distanze dei tre corpi mediante serie trigonometriche di quattro ar- 
gomenti, che a loro volta sono funzioni lineari del tempo ""'). L'analisi del 
Lindstedt fu semplificata dal Tisserand, il quale si è ancor qui valso con suc- 
cesso della riduzione di Radau e del metodo di integrazione di Delaunay 107 ). 
104 ) Beilrag tur Integration der Differentialyleichungen der Stòrungstheorie [Mera. Académie Ira- 
périale des Sciences de St. Pétersbourg, s. 7, t. 31, n.° 4 (1883) J. 
i0 °) Sur une méthode de M. Lindstedt [Bull. astr. , t. 3. pp. 67-61 (1886)]; Sur les séries de 
M. Lindstedt [Comp. rendus, t. 108, pp. 21-24 (1889) J. Il metodo seguito dal Lindstedt non dava 
la certezza che esso potesse applicarsi alle approssimazioni successive alla prima; nella prima di 
queste note Poincaré ne ha mostrato la completa validità con una ingegnosa applicazione del 
teorema di Green e degli invarianti integrali; poscia, nella seconda, sostituendo all'equazione da 
integrare un sistema canonico, ha tutto ridotto alla integrazione per serie della corrispondente 
equazione di Hamilton-Jacobi. Vedasi: Les Méthode» nouvelles, t. 2, pp. 18 e seg. 
I08 ) Sur la forme des distances mutuelles dans le problème des trois corps [Comp. rendus, t. 97, 
pp. 1276-1278, 1353-1355 (1883) J; Ueber die Bestimmung der gegenseitigen Entfernungen in dem Pro- 
blème der drei Kòrper [Astr. Nach., Bd. 107, pp. 197-214 (1883)]; Sur la determinatimi des distances 
mutuelles dans le problème des trois corps [Annales scient. de l' École Normale Super., s. 8, t. 1, 
pp. 85-102 (1884)]; Sur les séries trigonométriques dans le problème des trois corps [Bull, astr., t. 3, 
pp. 217-221]. 
l07 ) Note sur un théorème de M. A. Lindstedt concernant le problème des trois coiys [Comp. ren- 
dus, t. 98, pp. 1207-1213 (1884)]; JSlémoire sur le problème des trois corps [Ann. de 1' Observ. de 
Paris, Mémoires, t. 18, pagine 19 (1885)]. Il Tisserand ha in questi lavori esteso il teorema di 
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