- 37 — 
I principali risultati dimostrati dal Poincaré dal 1<S<S2 in poi sulle serie 
di Lindstedt sono i seguenti: 
Se tali serie sono assolutamente convergenti in un intervallo di tempo, 
piccolo quanto si vuole, esse saranno purè assolutamente convergenti per qual- 
siasi valore del tempo: se La convergenza non è uniforme, la serie può assu- 
mere valori indefinitamente grandi; più precisamente, può crescere oltre ogni 
limite o può oscillare entro limiti che a loro volta crescono indefinitamente; 
lilialmente, le serie di Lindstedt non convergono uniformemente per tutti i 
valori delle costanti da cui esse dipendono e non è nemmeno certo che si pos- 
sano scegliere le costanti stesse in modo che esse convergano. (ìli stessi risul- 
tati valgono per tutte le altre serie e anche per quelle del Bohlin "'). 
Altri fatti notevoli, a proposito delle serie trigonometriche che compari- 
scono nella teoria delle perturbazioni, erano segnalati per la prima volta dal 
Bruns nel 188 1 uo ). Quando si tien conto delle sole perturbazioni di primo or- 
dine (quindi di quelle dipendenti dalle sole anomalie medie dei pianeti), si è 
condotti alla considerazione di serie di potenze assolutamente convergenti in 
un cerchio di raggio minore di uno, e a quella di altre serie il cui termine 
generale è eguale al termine generale delle serie precedenti divise per / — vi', 
dove v è il rapporto dei moti medi dei due pianeti, i ed i' due qualunque 
numeri interi positivi o negativi; di più l'esponente di un tal termine eguaglia o 
supera il valor assoluto della differenza di questi due numeri. Prescindendo dai 
valori razionali di v, il Bruns ha dimostrato che, in qualunque intervallo, anche 
118 ) Sur les sériea trigono métriquea [Comp. rendus, t. 95, pp. 766-768 (1882); t. 97, pp. 1471- 
1473 (1884); t. 101, pp. 1131-1134 (1885)]: Sur la convergence dea aéries trigonométriquea [Bull, 
astr., t. 1, pp. 319-327 (1884)] ; Sur la divergence dea aéries de la Mécanique celeste [Comp. rendus, 
t. 122, pp. 497-499 (1896)]; Sur la divergence dea sériea trigonométriquea [Ibid., pp. 557-559]. Queste 
due ultime note riguardano una polemica con Hill: On the Convergence of the Seriea uaed in the 
Subject of Perturbations [Bulletin American Mathem. Society, t. 2, pp. 93-97 (1896)]; e Bemarks 
già citati alla nota 4 ). Hill credeva poter infirmare alcune delle conseguenze del Poincaré. Sur 
la facon de grouper lea terme» dea aériea trigonométriquea qu'on rencontre en Mécanique céleate [Bull, 
astr., t. 2, pp. 289-310 (1898)]. Si veda ancora la grande memoria degli Acta Mathem. e Lea 
Méthodea nouvellea, voi. 2, eh. 13. 
lla ) Méthodea nouvellea. voi. 2, pp. 388, 452. 
w ) Bemerkungen zur Theorie der nllgemeinen Stòrungen [Astr. Nach., Bd. 109, pp. 215-222 
(1884)]. In questa importantissima memoria il Bruns i'a questa osservazione, di cui vedremo la 
importanza a proposito delle recenti ricerche di Sundman (Nota 13 ' 2 )): « Hier sind (cioè nel pro- 
« blema generale dei tre corpi) die Coordinaten unendlich-vieldeutig analytische Funktionen der 
« Zeit; die eindeutige und bestandig gtiltige Form der Darstellung wird dadurch erreicht, dasa 
« die Coordinaten und der Zeit durch Hulfavariable ausgedruckt werden, deren Zahl beim Drei- 
« korperproblem mindestens gleich zwei ist. Beiliiufìg mòge hier erwahnt worden, dass man beim 
« Dreikorperproblem, wenn »•,?•',?•" die drei Distanzen zwischen den Korpern bedeuten, gewisse 
« nachweisbar auftretende Verzweigungspunkte durch die Einiuhrung der drei Hiilfsvariabeln 
« beseitigen kann ». 
